2022-2023学年广东省广州市天河外国语学校高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市天河外国语学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：C.2．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据任意角的三角函数定义即可求解.【详解】解：由题意知：角的终边经过点，故.故选：A.3．下列说法中，错误的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】A【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B，，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.【详解】对A，取，所以，故错误；对B，由，，所以，故正确；对C,，由，，所以，所以，故正确；对D，由，所以，又，所以故选：A4．已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴．故选：A．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】B【分析】由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.6．关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.【详解】由题意可得，且1，是方程的两根，为方程的根，，则不等式可化为，即，不等式的解集为．故选:A．7．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．三种形状都有可能【答案】C【分析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状．【详解】解：，，为三角形内角，，为钝角，即三角形为钝角三角形故选C．【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．8．当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（

）（参考数据：，)A．年 B．年 C．年 D．年【答案】B【分析】根据碳14的半衰期为5730年，即每5730年含量减少一半，设原来的量为，经过年后变成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【详解】解：根据题意可设原来的量为，经过年后变成了，即，两边同时取对数，得：，即，，，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前年.故选：B.二、多选题9．下列几种说法中，正确的是（

）A．面积相等的三角形全等B．“”是“”的充分不必要条件C．若为实数，则“”是“”的必要不充分条件D．命题“若，则”的否定是假命题【答案】CD【分析】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，；对于B：当时，满足，但；对于C：由得，解得；对于D：因为，所以，由原命题与原命题的否定的真假关系可判断.【详解】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，故A错；对于B：当时，满足，但，故B错；对于C：由得，解得，所以能成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；对于D：因为，所以，所以命题“若，则”是真命题，所以命题“若，则”的否定是假命题，故D正确，故选：CD.10．有如下命题，其中为真命题的有（

）A．若幂函数的图象过点，则B．函数的图象恒过定点C．在上存在零点，则m的取值范围是D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是【答案】BCD【分析】A选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B选项，根据指数函数恒过定点即可得到；C选项，判断函数的单调性，根据零点存在定理，根据两端点函数值的正负即可求出的取值范围；D选项，由可知，最小值在顶点处取得，最大值在或时取到，即可得出的取值范围.【详解】对A选项，设幂函数的解析式为，因为幂函数的图像经过点，即，解得，则，，故A选项错误.对B选项，函数的图象恒过定点，故B选项正确.对C选项，因为函数在上单调递增，且在上存在零点，则，，解得，故C选项正确.对D选项，函数，对称轴为，此时函数取得最小值为，当或时，函数值等于4，又函数在区间上的最大值为4，最小值为3，所以实数的取值范围是，故D选项正确.故选：BCD11．函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于，两点，且在轴上，则下列说法中正确的是（）A．函数的最小正周期是B．函数的图像关于点成中心对称C．函数在上单调递增D．函数的图像向右平移个单位长度后关于原点成中心对称【答案】AB【分析】根据函数的图象，可求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解得到答案．【详解】根据函数的部分图象以及圆C的对称性，可得两点关于圆心对称，A选项，根据给定函数的图象得点的横坐标为，所以，解得，正确；B选项，由A得，不妨令，由周期，所以，又，所以，所以，因为，即函数的图象关于点成中心对称，正确；C选项，由图像可知，函数的单调增区间为，即，，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，C错误；D选项，函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称，D错误.故选：AB．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．12．设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（

）A．函数是周期函数，且周期为B．函数的最大值是，最小值是C．当时，D．函数在上单调递增，在上单调递减【答案】BD【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数在上的解析式，可判断C选项的正误；利用C中的解析式结合周期性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由已知可得，则，故函数是周期函数，且周期为，A选项错误；对于B选项，当时，，由于函数为偶函数，则当时，，所以，当时，，由于函数是周期为的周期函数，故函数的最大值是，最小值是，B选项正确；对于C选项，当时，，当时，，则，C选项错误；对于D选项，由C选项可知，函数在上单调单调递增，在上单调递减，由于函数是周期为的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，D选项正确.故选：BD.三、填空题13．化简：＝________.【答案】【分析】直接利用二倍角公式及诱导公式求解即可．【详解】．故答案为：．14．若，，，则的最小值为___________.【答案】3【分析】利用基本不等式常值代换即可求解.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3，故答案为：315．已知函数，若，，则的取值范围是_________.【答案】【分析】，，分离参数，得到，求出的范围，即可得出结论.【详解】，恒成立，即恒成立，设在单调递减，所以，所以.故答案为：.16．设是定义在上的奇函数，且时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.【答案】【分析】由奇函数的对称性求出的解析式，确定的单调性，并得到，利用函数的单调性，将转化为自变量的不等量关系，即可得出结论.【详解】是定义在上的奇函数，且时，，设，，在上单调递减，且，对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，所以.故答案为：.四、解答题17．已知全集，集合，.(1)当时，求；(2)如果，求实数的取值范围.【答案】(1).(2)【分析】（1）由集合交补定义可得.（2）由可得建立不等关系可得解.【详解】（1）当时,，，，（2）因为，所以，，，或，，，，综上：的取值范围是18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，先求出，利用诱导公式，将所求的式子化为的齐次分式，再转化为，即可求出结论；（2）根据已知条件求出，利用，由两角差的余弦公式，即可求解.【详解】（1），；（2），又，，又，.19．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(3)＝2，求使h(x)<0成立的x的集合．【答案】(1)定义域为{x|－1<x<1}；h(x)为奇函数，理由见解析；(2){x|－1<x<0}．【分析】(1)利用对数式有意义可得函数定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；(2)由求得值，然后根据对数函数性质可解不等式．【详解】(1)∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x>－1}，g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x<1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x<1}＝{x|－1<x<1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2．∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，∴h(x)<0等价于log2(1＋x)<log2(1－x)，∴解得－1<x<0．故使h(x)<0成立的x的集合为{x|－1<x<0}．【点睛】本题考查求对数型函数的定义域，奇偶性，解对数不等式，掌握对数函数性质是解题关键．20．已知函数.（1）求函数的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式的值域；（3）当时，解不等式.【答案】（1）单调递增区间为，对称中心为；（2）；（3）.【分析】（1）由，根据三角函数的递增区间和对称中心即可得解；（2）由，可得，所以即可得解；（3）由时，求出整体范围，若要，只要，求解即可.【详解】（1），由解得，所以，由可得，所以对称中心为；（2）由，可得，所以，所以的值域为；（3）当时，，由可得：，则，根据正弦函数的图像与性质可得：,解得的取值范围为.21．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．(1)分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；(2)已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？【答案】(1)A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.(2)①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；（2）①：利用代入法进行求解即可；②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为A产品的利润y与投资x成正比，所以设，由函数图象可知，当时，，所以有，所以；因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，所以设，由函数图象可知：当时，，所以有，所以；（2）①:将200万元资金平均投入两种产品的生产，所以A产品的利润为，B产品的利润为，所以获得总利润为万元；②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，设企业获得的总利润为万元，所以，令，所以，当时，即当时，有最大值，最大值为，所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.22．设，函数．(1)若，判断并证明函数的单调性；(2)若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围．【答案】(1)在上递增，证明见解析.(2)【分析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判