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文档简介
2022-2023学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知椭圆的左、右焦点分别为、,长轴长,焦距为,过点的直线交椭圆于A,两点,则的周长为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意画出图像,根据椭圆的定义即可求解.【详解】由题知,2a=8,的周长为.故选:C.2.设等差数列的前项和为,若,,则(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】列出关于首项与公差的方程组,求出首项与公差,从而可得答案.【详解】设数列的公差为,因为,所以,解得,,故.故选:A.3.已知等比数列的前3项和为168,,则(
)A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【分析】设等比数列的公比为,易得,根据题意求出首项与公比,再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解:设等比数列的公比为,若,则,与题意矛盾,所以,则,解得,所以.故选:D.4.若,则是方程表示双曲线的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据双曲线定义可知,要使方程表示双曲线和异号,进而求得的范围即可判断是什么条件.【详解】解:因为方程表示双曲线,所以,解得,因为,所以是方程表示双曲线的必要不充分条件,故选:B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据双曲线的定义是解决本题的关键,属于基础题.5.已知圆锥的底面半径为2,高为,则该圆锥的内切球表面积为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图,列出等量关系,即可求解.【详解】如图,圆锥与内切球的轴截面图,点为球心,内切球的半径为,为切点,设,即由条件可知,,中,,即,解得:,所以圆锥内切球的表面积.故选:D6.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【分析】的轨迹为圆,考虑该圆和直线有公共点(即相交或相切)可得实数的取值范围.【详解】设,则由得,因在直线上,故圆心到直线的距离,故,故选C.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”,常规的处理办法是找出动点所在的轨迹(通常为圆),常见的“隐形圆”有:(1)如果为定点,且动点满足,则动点的轨迹为圆;(2)如果中,为定长,为定值,则动点的轨迹为一段圆弧.7.已知等差数列中,,设函数,记,则数列的前项和为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】分析可知函数的图象关于点对称,利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果.【详解】,由,可得,当时,,故函数的图象关于点对称,由等差中项的性质可得,所以,数列的前项和为.故选:D.8.已知,若点P是抛物线上任意一点,点Q是圆上任意一点,则的最小值为A.3 B. C. D.4【答案】B【分析】设,利用三角形知识得到,转化成,令,将转化成,问题得解.【详解】设,由抛物线方程可得:抛物线的焦点坐标为,由抛物线定义得:又,所以,当且仅当三点共线时(F点在PQ中间),等号成立,令,可化为:,当且仅当,即:时,等号成立.故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用,还考查了计算能力及转化能力,属于基础题.二、多选题9.已知三个数成等比数列,则圆锥曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】BC【分析】由等比数列的性质求出,再判断曲线类型,进而求出离心率【详解】由三个数成等比数列,得,即;当,圆锥曲线为,曲线为椭圆,则;当时,曲线为,曲线为双曲线,,则离心率为:或故选BC【点睛】本题考查等比数列的性质,离心率的求解,易错点为漏解的取值,属于中档题10.已知,是抛物线上的两点,若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是(
)A. B.C. D.【答案】ABC【分析】对于选项A,设直线的方程为,代入,再利用韦达定理,即可得到结论;对于选项B,利用抛物线的定义和选项A中的结论,表示出即可;对于选项C,由抛物线的定义,在直角三角形中,运用余弦函数的定义,即可得到的长,同理可得的长,即可判断;对于选项D,选项A中的结论进行判断即可.【详解】对于选项A,设直线的方程为,代入,可得,所以,,选项A正确;对于选项B,因为是过抛物线的焦点的弦,所以由抛物线定义可得,由选项A知,,,所以.即,解得,当时,,所以,当时,,所以,当时,也适合上式,所以,选项B正确;对于选项C,不妨设,点A在x轴上方,设,是,在准线上的射影,,所以,同理可得,所以,同理可证时,等式也成立,选项C正确;对于选项D,由上可知:,,所以,选项D不正确,故选:ABC.11.2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点,椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则(
)A.椭圆的长轴长为B.线段AB长度的取值范围是C.面积的最小值是4D.的周长为【答案】ABD【分析】由题意可得b、c,然后可得a,可判断A;由椭圆性质可判断B;取特值,结合OA长度的取值范围可判断C;由椭圆定义可判断D.【详解】由题知,椭圆中的几何量,得,则,A正确;,由椭圆性质可知,所以,B正确;记,则取,则,C错误;由椭圆定义知,,所以的周长,D正确.故选:ABD12.如图,四边形为正方形,平面,,,记三棱锥,,的体积分别为,,,则(
)A. B. C. D.【答案】CD【分析】找到三棱锥的高,利用三棱锥体积公式分别求出,,,进而判断出结果.【详解】如图连接交于O,连接.设,则.由平面,,所以平面,所以,.由平面,平面,所以.又,且,平面,所以平面,所以.易知,,所以,所以,而,平面,所以平面.又,,所以有,所以选项AB不正确,CD正确.故选:CD.三、填空题13.已知向量.若,则________.【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标,利用向量的数量积为零求得的值【详解】,,解得,故答案为:.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,平面向量垂直的条件,属基础题,利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.14.已知双曲线(a>0,b0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【分析】根据离心率求得,即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为2,则,解得,故双曲线的渐近线方程为.故答案为:.15.正方体中,分别是的中点,则所成的角的余弦值是__________.【答案】【分析】取的中点,由得出异面直线与所成的角为,然后在由余弦定理计算出,可得出结果.【详解】取的中点,由且可得为所成的角,设正方体棱长为,中利用勾股定理可得,又,由余弦定理可得,故答案为.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,一般利用平移直线找出异面直线所成的角,再选择合适的三角形,利用余弦定理或锐角三角函数来计算,考查空间想象能力与计算能力,属于中等题.16.对给定的数列,记,则称数列为数列的一阶商数列;记,则称数列为数列的二阶商数列;以此类推,可得数列的P阶商数列,已知数列的二阶商数列的各项均为,且,则___________.【答案】【分析】由题意可得,从而得,即,由累乘法即可求得的值.【详解】解:由数列的二阶商数列的各项均为,可知,而,故数列是以1为首项,为公比的等比数列,即,即,即.所以,故.故答案为:四、解答题17.记△ABC得内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinA=3sinB,C=,c=.(1)求a;(2)求sinA.【答案】(1)(2)【分析】(1)由,结合余弦定理得出;(2)由正弦定理得出.【详解】(1)因为sinA=3sinB,所以,由余弦定理可得,所以(2)由可得,18.已知数列的前项和为,,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和.【答案】(1);(2)【分析】(1)由条件得到,结合已知两式相减得到,再验证,得到数列是等比数列,从而得到数列的通项公式;(2)由(1)可知,利用分组转化为等差数列和等比数列求和.【详解】(1)…………….①………………..
②
①-②得,即又,
是以2为首项,2为公比的等比数列
(2)由(Ⅰ)得
【点睛】本题考查已知求,以及分组转化法求和,重点考查基本方法,计算能力,属于基础题型,本题容易忽略验证,一般求和的方法包含1.公式法求和;2.裂项相消法求和;3.分组转化法求和;4.错位相减法求和,这些常用方法需熟练掌握.19.如图,在三棱柱中,平面,,是等边三角形,D,E,F分别是棱,AC,BC的中点.(1)证明:平面.(2)求平面ADE与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由线线平行证明面面平行,再由面面平行证明线面平行;(2)建立空间直角坐标系,用向量法求解两平面夹角的余弦值.【详解】(1)证明:连接BD.因为E,F分别是棱AC,BC的中点,所以.因为平面,平面,所以平面.因为D,F分别是棱,BC的中点,所以,,所以四边形是平行四边形,则.因为平面,平面,所以平面.因为平面ABD,且,所以平面平面.因为平面ABD,所以平面.(2)解:取的中点,连接,,易证,,OE两两垂直,则以O为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,,从而,,,.设平面ADE的法向量为,则令,得,设平面的法向量为,则令,得.设平面与平面的夹角为,则.20.已知椭圆:的长轴长为,的两个顶点和一个焦点围成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆相交于,两点,为坐标原点,若的面积为,求的值.【答案】(1)(2)或【分析】(1)由已知可得,,可求椭圆的标准方程;(2)设,,将椭圆方程与直线方程联立,可得,,由已知可得,求解即可.【详解】(1)由题知,,得,要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形.两顶点只能在短轴上,则,,故椭圆的标准方程为;(2)设,,将椭圆方程与直线方程联立,化简得,其中,即,且,,.原点到直线的距离,.化简得,解得或,又且,或.21.已知公差为正数的等差数列的前项和为,________.请从以下二个条件中任选一个,补充在题干的横线上,并解答下列问题:①成等比数列,②.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)先设等差数列的公差为,再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质,根据条件①②分别列出关于首项与公差的方程,解出的值,即可计算出数列的通项公式;(2)先根据第(1)题的结果计算出数列的通项公式,再运用裂项相消法即可计算出前项和.【详解】(1)由题意,设等差数列的公差为,方案一:选择条件①,根据成等比数列得,代入得,又,化简整理,可得,由于,所以,,.方案二:选择条件②由,可得,又,解得,,(2)由(1)可得,则.22.已知点F为抛物线:()的焦点,点在抛物线上且在x轴上方,.(1)求抛物线的方程;(2)已知直线与曲线交于A,B两点(点A,B与点P不重合),直线PA与x轴、y轴分别交于C、D两点,直线PB与x轴、y轴分别交于M、N两点,当四边形CDMN的面积最小时,求直线l的方程.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)
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