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PAGEPAGE8Ａ卷Ａ卷2006—2007学年第1学期《数值计算方法》期末试卷标准答案专业班级姓名学号开课系室数学院信息与计算科学系考试日期2006-12-28题号一二三四五六总分得分阅卷人一.填空题（每空2分，共40分）1.设是真值的近似值，则有

2

位有效数字。2.用二步法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行两步后根所在区间为。3.设，则差商，。4.形如的插值型求积公式,其代数精度至少可达次，至多可达次。5.向量，,矩阵，则___3_____，Cond。6．对矩阵A作如下的Doolittle分解：，则，7.设，则

。8.解初值问题的改进欧拉法是阶方法。9.设是次Lagrange插值基函数，则。10.已知是三次样条函数，则，，。11.写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式为，迭代矩阵为。此迭代法是否收敛收敛。二.（12分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。解：改进的欧拉法：（3分）所以；（6分）经典的四阶龙格—库塔法：（9分），所以。（12分）三.(12分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并写出其余项的表达式01212324123解：（5分）（8分）（10分）令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以(10分)四.（16分）1.（8分）用Gauss列主元消去法解方程组：解：（3分）(6分)(8分)2.(8分)给定数据x0.10.20.35.12345.30535.5684求一次最小二乘拟合多项式解：五．（12分）求积公式又知其误差余项为试确定系数，使该求积公式有尽可能高的代数精度，指出其代数精确度的次数并确定误差式中的值。解：将分别代入公式得：（6分）当时，左边等于，右边等于，所以求积公式最高代数精度为2。（9分）将代入有误差项中的积分式中（12分）六.（下列2题任选一题，8分）1．设，试建立计算的牛顿迭代公式，并分析其收敛性。2．推导求解常微分方程初值问题形式为的公式，使其精度尽量高，并指出方法的阶数。(其中)解：1.解：问题转换为求解的正根。牛顿迭代公式为（2分）下面证明对任何初值迭代过程收敛。根据定理2.8,对于任何，迭代公式收敛。（5分）当时，由f的单调性知对任何初值迭代过程收敛。（8分）2.局部截断误差=

（4分）令，得，，

计算公式为，i=0,1,2,…(6分)局部截断误差为＝，方法是二阶方法。（8分）

1．（6分）．求解按最小二乘法拟合三点的直线。解：设直线方程为超定方程组为

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