《数学分析》(华师大二版)课本上的习题12-15

第十二章数项级数§1级数的收敛性试讨论几何级数（也称为等比级数）的收敛性。证明下列级数的收敛性，并求其和数：（1）（2）（3）（4）（5）证明：若级数发散，,则也发散。设级数和都发散，试问一定发散吗？又若与（n=1,2,….）都是非负数，则能得出什么结论？证明：若数列收敛于a,则级数证明：若数列有，则级数发散；当时，级数=应用第5，6题的结果求下列级数的和：（1）（2）（3）应用柯西准则判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（3）；证明级数收敛的充要条件是：任给正数，存在某自然数N,对一切n>N,总有。举例说明：若级数对每一个自然数p满足条件，则这级数不一定收敛。§2正项级数应用比较原则判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（其中设和为正项级数，且存在正数,对一切n>,有。证明：若级数，则级数也收敛；若发散，则也发散。设正项级数收敛，证明级数也收敛；试问反之是否成立？设且数列有界，证明级数收敛。设正项级数收敛，证明级数也收敛。证明下列极限：（1）=0；（2）。提示：由级数收敛的必要条件推出。用积分判别法讨论下列级数的收敛性：（1）（2）（3）（4）设为递减正项数列，证明：级数同时收敛或同时发散。设。证明：若存在某自然数及常数k,当n>时，有则级数收敛；若n>时有，且，则级数发散。注意：当（1）中11．设级数收敛，证明级数也收敛。12．判别下列级数的收敛性：（1）；（2）（3）（4）（5）；（6）13．用根式判别法证明级数收敛，并说明比式判别法对此级数无效。14．求下列极限（其中p>1）:(1)(2)15.设同时收敛或同时发散。§3一般项级数下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散：（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）（8）（9）10.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：（1）（2），（a>0）;(3)3.设证明级数是收敛的。4．设都是发散的。5．写出下列级数的乘积：（1）（2）6．证明级数与乘积等于。7．重排级数使它成为发散级数。8．证明：级数收敛。总练习题证明：若正项级数若级数都收敛，且成立不等式，证明级数都发散，试问一定发散吗？3.若且级数收敛，证明级数也收敛，若上述条件中，只知道收敛，能推得收敛吗？4．（1）设为正项级数，且，能否断定级数收敛？（2）对于级数有，能否断定级数不绝对收敛，但可能条件收敛。设为收敛的正项级数，能否存在一个正数，使得=c>0.5.证明：若级数收敛，绝对收敛，则级数也收敛。6．证明级数是发散的。7．讨论级数的收敛性。8．设，证明级数是收敛的。9．证明：若级数与收敛，则级数和也收敛，且10．证明：（1）设为正项级数，若，则正项级数收敛。（2）若级数发散，且则正项级数发散。第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：（1）（2）（3）-(n+1)x+1,0,(4),n=1,2,…(¡)D=[0,,D=[0,1000](5)sin(¡)D=[-l,+l],(¡¡)D=(-)(6)=(-)(7)(¡)D=(-)(¡¡)[1/10,10]2.证明：设若对每一个自然数n有在D上一致收敛于f.3.设为定义在[a,b]上的函数列，且对每一个n,在点a右连续，但是发散的，证明在任何开区间（a,b+）(这里a+)内都不一致连续。4．设函数项级数在D上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界。证明级数g(x)S(x).5.判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性：（1）（2）（3）（4）6．若在区间I上，对任何自然数n,证明当在I上一致收敛时，级数在I上一致收敛。7．设，（n=1,2,…）是[a,b]上的单调函数，证明：与都绝对收敛，则级数在[a,b]上绝对并一致收敛。8．在[0,1]上定义函数数列 ,= n=1,2….. 0，证明：级数在[0，1]上一致收敛，但它不存在优级数。9．讨论下列函数列或函数项级数爱所示区间D上的收敛性：（1）（2）（3）（4）（5）（7）10．试构造一个定义在（0，1）上的函数项级数，使得它在有理点上收敛，在无理点上发散。11．证明：级数在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，1]上却不一致收敛。12．设f为定义在区间（a,b）内的任一函数，记证明函数列在（a,b）内一致收敛于f.13.设为[a,b]上正的递减且收敛于0的函数列，每一个都是[a,b]上的单调函数，则级数在[a,b]上不仅收敛而且一致收敛。§2一致收敛函数列和函数项级数的性质讨论下列各函数列在所定义的区间上：（a）与的一致收敛性；（b）是否具有定理13.8，13.9，13.10的条件于结论。（1）（2）x-(3)nx2.证明：若函数列在[a,b]上满足13.10的条件，则在[a,b]上一致连续。3定理13.11和13.13。4．设S(x)=5.设S(x)=6.设S(x)=7.证明：函数f(x)=在（上连续，且有连续的导函数。8．证明：定义在[0，2上的函数项级数满足定理13.12条件，且9.讨论下列函数列在所定义区间的一致收敛性及其极限函数的连续性，可积性和可微性：（1）x(2)(¡)),(ii)10．证明函数在（1，+）内连续，且有连续的各阶导数。11．证明：若函数列在的某邻域U（x0,）内一致收敛于f,且=a,n=1,2…则存在且相等，即12设f在（-上有任何阶导数，记Fn=f(n),且在任何有限区间内Fn(n,试证（c为常数）总练习题试问k为何值时，下列函数列一致收敛：（1）（2） 0证明：（1）若，,且f在I上有上界，则至多除有限项外在I上是一致有界的；（2）若（n）,,且对每个自然数n,在I上有界，则在I上一致有界。设f为[1]上的连续函数，证明：（1）在[1]上收敛；（2）在[1]上一致收敛的充要条件是f在[1]有界，且f(1)=0.4.若把定理13.9中的一致收敛函数列在[a,b]上连续改为在[a,b]上可积，试证在[a,b]上的极限函数在[a,b]上也可积。5．证明：由二重极限所确定的极限函数是狄利克雷函数。6．设级数收敛，证明。7．设可微函数列在[a,b]上收敛，在[a,b]上一致有界，证明：在[a,b]上一致收敛。第十四章幂级数§1幂级数求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）应用逐项求导或逐项求积法求下列幂级数和函数（应同时指出它们的定义域）：（1）x+(2)(3)3.证明：设f(x)=则（注意：这里不管 4.证明：(1)y=满足方程y(4)=y;(2)y=满足方程xy’’+y‘-y=05.证明定理14.8的推论2。6．证明：设f为幂级数（2）在（-R,R）上的和函数，若f为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幂的项，若f为偶函数，则（2）仅出现偶次幂的项。7．求下列幂级数的收敛域：（1），（a>0,b>0）;(2)8.证明定理14.3并求下列幂级数的收敛半径：（1）（2）a+bx+ax2+bx3+……(0<a<b)9.求下列幂级数的收敛半径及其和函数：（1）（2）10．设a0,a1,a2,…..为等差数列（a00）.试求：幂级数的收敛半径；数项级数的和数。11．按待定系数法确定函数的幂级数的表达式（写出前4项）。§2函数的幂级数展开设函数f在区间（a,b）内的各阶导数一致有界，即存在正数M，对一切x(a,b)，有证明：对（a,b）内的任一点x与x0有。利用以知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间：（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（１＋x）（９）３．求下列函数在x=1处的泰勒展开式：（１）f(x)=3+2x-4x2+7x3;(2)f(x)=1/x;4.求下列函数的马克劳林级数展开式：（１）（２）xarctgx-5.试将f(x)=lnx按的幂展开成幂级数。总练习题证明：当｜x|<1/2时，求下列函数的幂级数展开式：（１）f(x)=(1+x)ln(1+x);(2)f(x)=sin3x;(3)3.确定下列幂级数的收敛域，并求其和函数；（１）（２）（３）(4)4.应用幂级数性质求下列级数的和：（1）（2）5．设函数定义在[0，1]上，证明它在（0，1）上满足方程：6．设圆弧AB的弦长为a,圆弧AB一半所对应的弦长为b,证明：AB的弧长7．利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：（1）（2）（3）第十五章傅立叶级数§1傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数：（1）f(x)=x(i)-<x<(ii)0<x<2;(2)f(x)=x2(i)-<x<(ii)0<x<2;(3)ax-<x<0f(x)=(a,b为不等于0的常数，且ab)bx0<x<2.设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c有3.把函数--<x<0f(x)=0展开成傅立叶级数，并由它推出（1）（2）（3）4．设函数f(x)满足条件：f(x+)=-f(x),问此函数在（-，）的傅立叶级数满足什么特性。5．函数f(x)满足条件：f(x+)=f(x),问此函数在（-，）的傅立叶级数满足什么特性？6．试证函数系cosnx,n=0,1,2….和sinnx,n=1,2,…都是[0，]上的正交函数系，但它们合起来的（5）式不是[0，]上的正交函数系。7．求下列函数的傅立叶展开式：（1）；（2）-<x<;(3)f(x)=ax2+bx+c,(i)0<x<2(ii)-<x<(4)f(x)=chx,-<x<(5)f(x)=shx,-<x<8.求函数f(x)=,0<x<2的傅立叶级数展开式，并应用它推出。9．设f为[-，]上光滑函数，且f(-)=f(),为f的傅立叶级数，an’，bn’为f的导函数f‘的傅立叶系数。证明：，。（n=1,2,…）10.设f为[-，]上的光滑函数，且f(-)=f()，证明：，（.11.证明：若三角级数中的系数满足关系，M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数。§2以2l为周期的函数的展开式下列周期函数的傅立叶级数展开式：（1）f(x)=|cosx|;(2)f(x)=x-[x];(3)f(x)=sin4x;(4)f(x)=sgn(cosx).求函数xf(x)=11<x<23-x的傅立叶级数并讨论其收敛性。将函数f(x)=在[0，]上展开成余弦级数。将函数在[0，]上展开正弦级数。把函数1-x,f(x)=x-3,2<x<4在（0，4）上展开成余弦级数。把函数在（0，1）上展开余弦级数，并推出求下列函数的傅立叶级数展开式：（1）f(x)=arcsin(sinx);(2)f(x)=arcsin(cosx).8.试问如何把定义在[0，/2]上的可积函数f延拓到区间（-，）内，使它们的傅立叶级数为如下形式：（1）（2）§3收敛定理的证明1．设f为（-，）上以2为周期的光滑函数，证明f的傅立叶级数在（-，）上一致收敛于f.2.f为[-，