广东省梅州市沐彬中学2021年高三数学理联考试卷含解析

广东省梅州市沐彬中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.使奇函数，在上为减函数的θ值为A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知实数满足,且.若为方程的两个实数根,则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.集合，则下列关系正确的是A.

B. C. D.=R 参考答案：A4.在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是（）A．﹣e B． C．e D．参考答案：B【分析】由函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=ex互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=ex互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故选B．【点评】互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．5.已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与x2+y2=1相切，则p是q的

A．充分必要条件

B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件

D．必要不充分条件参考答案：C略6.已知三个向量，，共面，且均为单位向量，?=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1，+1] B． C．[，] D．[﹣1，1]参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量，，共面，且均为单位向量，?=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+﹣=（1﹣x，1﹣y），||==1；∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1，∴|+﹣|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．7.已知f（x）=2cos2x﹣6sinxcosx，则函数f（x）的最大值是(

)A．3 B． C．+1 D．﹣1参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可确定出最大值．【解答】解：f（x）=2cos2x﹣6sinxcosx=1+cos2x﹣3sin2x=（cos2x﹣sin2x）+1=cos（2x+α）（其中cosα=，sinα=），∵cos（2x+α）∈[﹣1，1]，即cos（2x+α）∈[﹣，]，∴f（x）的最大值为+1．故选C．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．8.已知中，把数列的各项排列成如下的三角形状，

记表示第行的第个数，则=

A.

B.

C.

D.参考答案：A前9行共有项，所以为数列中的第项，所以，选A.9.若关于的方程有一个正根和一个负根，则的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B10.若是虚数单位，则复数等于

A．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知tanα=2，则sin2α﹣2sin2α=． 参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】由条件利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数的基本关系把要求的式子化为，即可计算求得结果． 【解答】解：∵tanα=2， ∴sin2α﹣2sin2α===﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 12.若函数的定义域为[-1，1]，则满足f（2x-1）＜f（1）的实数x的取值范围是______．参考答案：[0，1）【分析】先确定函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】∵在单调递增，∵，∴，解得，故答案为:[0，1）【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.13.．若命题“是真命题”，则实数a的取值范围是

。参考答案：或若命题为真，则对应方程有解，即，解得或。14.已知抛物线C：y2=8x，点P（0，4），点A在抛物线上，当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时，延长AF交抛物线于点B，则△AOB的面积为．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|AF|+|AP|≥|PF|=2，得出直线AB的方程，即可得出结论．【解答】解：设A在抛物线准线的投影为A'，抛物线的焦点为F，则F（﹣2，0），由抛物线的定义知：A到该抛物线准线的距离为|AA'|=|AF|，则点A到点P（0，4）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|AF|+|AP|≥|PF|=2AB的斜率为﹣2，直线方程为y=﹣2（x﹣2），即x=﹣+2代入抛物线C：y2=8x，可得y2+4y﹣16=0，∴y=﹣2±2，∴△AOB的面积为=4．故答案为．15.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量

．参考答案：略16.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的：“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为__________．（参考数据：参考答案：考点：1、程序框图；2、循环结构.17.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为▲

.参考答案：(－1，＋∞)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在等差数列中，，前n项和Sn满足条件（1）求数列的通项公式；（2）记参考答案：（1）设等差数列的公差为，由得：，所以，即，所以（2），得，所以…，当时，；当时，…，…即当时，；当时，19.如图，在Rt△ABC中，，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，．（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（Ⅱ）若，求EC的长．参考答案：解（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．

…5分（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，，即，解得,

…7分∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．∴EC=．

…10分略20.已知{an}为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a3，ak+1，Sk成等比数列，求正整数k的值．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn，进而可得a3，ak+1，Sk，由等比数列可得k的方程，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由题意可得，解方程组可得a1=2，d=2，∴an=2+2（n﹣1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴a3=2×3=6，ak+1=2（k+1），，∵a3，ak+1，Sk成等比数列，∴，∴（2k+2）2=6（k2+k），化简可得k2﹣k﹣2=0，解得k=2或k=﹣1，∵k∈N*，∴k=2【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题．21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．

（1）求C;

（2）若c=，且，求△ABC的面积.参考答案：解:(1)由正弦定理,得,

因为解得.

……6分

(2)由得

,

若,,

……8分

若,

由余弦定理,得,解得a=1,b=3..综上,△ABC的面积为或.

……12分22.某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（≤x≤12）之间满足关系：P=0.1x2﹣3.2lnx+3．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元．（利润=盈利﹣亏损）（Ⅰ）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；（Ⅱ）当每台机器的日产量x（万件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？参考答案：考点：函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用利润=盈利﹣亏损，可建立利润函数；（Ⅱ）求导函数，求得函数的单调性，即可求得函数的最值．解答：解：（Ⅰ）由题意得，所获得的利润为y=10[2（x