广东省梅州市棉洋中学2023年高三数学理月考试卷含解析

广东省梅州市棉洋中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设非零向量a，b，c，若，那么|p|的取值范围为

A．[0,1]

B．[0,2]

C．[0,3]

D．[1,2]参考答案：C因为，，是三个单位向量，因此三个向量同向时，|p|的最大值为3.2.设函数，则函数是（

） A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的偶函数

参考答案：B略3.函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，） D．（0，）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交点的问题；讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，由＞1求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，将零点问题转化为两个函数交点的问题；又函数h（x）=x（ax﹣1），当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；当a＞0时，由lnx﹣ax2+x=0，得a=；令r（x）=，则r′（x）==，当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且＞0，∴0＜a＜1；或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，如图所示；g（x）=lnx交x轴于点（1，0），h（x）=ax2﹣x交x轴于点（0，0）和点（，0）；要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，即＞1，解得0＜a＜1；∴a的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查了函数零点的判断问题，也考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，是难题．4.“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案：B【考点】充要条件． 【专题】计算题；简易逻辑． 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0； ∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0， ∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 5.给定集合A、B，定义，若，则集合A*B中所有元素之和为（

）A．6

B．8

C．10

D．18参考答案：答案：C6.已知实数a＞0，函数f（x）=，f（a3）=2，则a=（）A．1 B．2 C．1或2 D．1或4参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由已知得0＜a≤1时，f（a3）=a4+a6=2；当a3＞a＞0时，f（a3）=﹣1=2，由此能求出a的值．【解答】解：∵实数a＞0，函数f（x）=，f（a3）=2，∴0＜a≤1时，f（a3）=a4+a2=2，解得a=1，当a3＞a＞0时，f（a3）=﹣1=2，∴=1，解得a=2或a=﹣1（舍）．综上，a=1或a=2．故选：C．7.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．8.在复平面内，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．9.已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，） B．（2，+∞） C．（e+，+∞） D．（+，+∞）参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，即可得出结论．【解答】解：由题意，f′（x）=，∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴，∴λ＞e+，故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，考查方程根问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.若的展开式中的系数为，则常数（

）

A．1

B．3

C．4

D．9参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：

；参考答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值12.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列{an}的通项公式an=_______，数列的前n项和Sn=_______.参考答案：

【分析】由题意可得，，利用累加法可求数列的通项公式，求出数列的通项公式，利用裂项相消法求其前项和.【详解】解：由题意可知，，，，，累加可得，，.故答案为：；.【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

。参考答案：略14.=．参考答案：π+2【考点】67：定积分．【分析】由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得，再求得，作和得答案．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），则圆x2+y2=4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，，又，∴=π+2．故答案为：π+2．15.命题的否定为__________.参考答案：略16.已知，且，则n=

；参考答案：答案：417.(不等式选作题)已知则的最小值为

.参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为满足(I)求数列的通项公式及数列的前n项和；(Ⅱ)是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由参考答案：19.在△ABC中，已知．求：⑴AB的值；⑵的值．

参考答案：解：（1）（方法1）因为，所以，即，亦即，故．

……6分（方法2）设A，B，C的对边依次为a，b，c，、则由条件得．

两式相加得，即，故．

…………6分（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，则由条件得．

由余弦定理得，两式相加得，故．

……6分（2）

由正弦定理得．……12分略20.已知向量＝，＝，定义函数f(x)＝·.(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.参考答案：(1)f(x)＝·＝(－2sinx，－1)·(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x＝sin，∴f(x)的最大值和最小值分别是和－.(2)∵f(A)＝1，∴sin＝.

∴2A－＝或2A－＝.∴A＝或A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝，∵bc＝8，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×＝221.已知函数，（其中且），记.（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并