数值分析 第二章 代数插值解析

1、数值分析Numerical Analysis第二章代 数 插 值郑州大学硕士研究生课程（2015-2016学年第一学期） 2/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis第二章 代 数 插 值 2.1 代数插值问题 问题提出2.2 代数插值多项式的存在唯一性 可解性2.3 拉格朗日插值方法 解决方法和理论分析 2.4 牛顿(Newton)插值 算法实现 2.5 分段线性插值 2.6 Hermite插值2.7 样条插值计算机数值算法设计思路3/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysisy

2、= f (x)y=p (x)例2.1.1 设计某工件的外形，要求其轮廓线是光滑的，且必须过n+1个互异的点(xi,yi)(i=0,1,n). 轮廓线应如何设计呢？2.1 代数插值问题的提出4/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis解： 满足要求的轮廓线不妨取为n次多项式Pn(x). 设这里 Pn(x)是光滑的，且它满足将(2.1)带入(2.2)可得下面线性代数方程组2.1 代数插值问题的提出5/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis则(2.3)的系数行列式为范德蒙德行列式因x

3、ixj（ij），故V0. 从而方程组(2.3)的解存在唯一.求出未知量a0,an代入(2.1)即得所求轮廓线. 2.1 代数插值问题6/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis代数插值问题： 设函数 y=f (x)定义在区间a, b上，而x0, x1, xn是在a, b上取定的n+1个互异节点, 则在这些点处的函数值为 yi=f (xi), i=0,1,n. 求一个次数不超过 n 的多项式Pn(x)，使它满足则称Pn(x)为f (x)的n次代数插值多项式. 求满足以上条件多项式Pn(x)的问题叫做代数插值问题. 称 x0,x1,xn 为

4、插值节点， a, b为插值区间，（）为插值条件.2.1 代数插值问题的提出7/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis代数插值问题是否可解？2.2 代数插值多项式的存在唯一性8/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis多项式局部近似以直代曲以简代繁多项式整体近似以直代曲2.2 代数插值多项式的存在唯一性9/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis定理2.2.1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的.证： 因为 x0, x1,

5、 xn 是在a, b上取定的n+1个互异节点,由例中分析过程可知，代数方程组的解存在唯一，从而满足插值条件(2.5)的n次代数插值多项式Pn(x)也是存在唯一的.2.2 代数插值多项式的存在唯一性10/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis目标：设计计算量小、实现简单的计算机算法，根据输入的n+1个点生产n次代数插值多项式.约瑟夫.路易斯.拉格朗日（17351813） 评价：采用例中的待定系数法求n次代数插值多项式不符合目标.拉格朗日提出直接构造多项式的方法.2.3 代数插值多项式的存在唯一性11/168郑州大学2015-2016学年

6、硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis线性插值（n=1)给定两个互异点(x0，y0)，(x1，y1），确定一次插值多项式P1(x)的问题，称为线性插值问题.称(2.6)为一次拉格朗日插值多项式或线性插值多项式.2.3 拉格朗日插值方法12/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis线性插值（n=1)引入记号则它们满足则 分别称为节点x0 ,x1的插值标准基函数. 线性插值多项式可表示为函数值 y0, y1 与插值基函数的线性组合 2.3 拉格朗日插值方法13/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值

7、分析 Numerical Analysis线性插值（n=1)2.3 拉格朗日插值方法插值标准基函数14/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis抛物插值（n=2)给定3个互异点(xi，yi)(0=0,1,2)，确定一个不超过2次的插值多项式P2(x)的问题，称为二次插值问题.受线性插值多项式的启发，猜想可通过如下方式构造P2(x)构造2次插值基函数li(x)(i=0,1,2),满足li(xj)=ij(i,j=0,1,2).构造2次插值多项式P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x).2.3 拉格朗日插值方法15/168郑

8、州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis线性插值（n=1)2.3 拉格朗日插值方法插值标准基函数16/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis抛物插值（n=2)因为 是 的两个零点，于是 再由另一条件 确定系数 从而导出 类似可得2.3 拉格朗日插值方法17/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis抛物插值（n=2)则 称为二次插值基函数. 取 为线性组合系数,将基函数 线性组合可得 容易看出,P2(x)满足条件 因其图形为抛物线

9、，二次插值又称为抛物插值.2.3 拉格朗日插值方法18/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysisx0 x1x22.3 拉格朗日插值方法19/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysisn次插值由抛物插值中构造性方法启发，解决一般的n次代数插值问题.分别构造x0 , x1, , xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), , ln(x),满足 节点基函数x0 x1x2xnl0(x)1000l1(x)0100l2(x)0010ln(x)0001n次插值基函数2.3 拉格朗日

10、插值方法20/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical AnalysisN次插值由上表， x1 , x2, , xn 为 l0(x) 的零点，设由l0(x0)=1，得2.3 拉格朗日插值方法21/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical AnalysisN次插值类似可得节点 xi 对应的n次插值基函数从而可得n次代数插值多项式显然Pn(x)是次数不超过n的多项式，且Pn(xi)=yi(i=0,1,n)2.3 拉格朗日插值方法22/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical An

11、alysisN次插值拉格朗日(Lagrange)插值方法总结根据问题特征，构造对应每个节点的插值 基函数，是解决问题的关键.其数学思想是以直代曲，以简代繁，是高 等数学思想方法的延伸.直接构造n次插值多项式的方法过程简单， 容易在计算机上实现.2.3 拉格朗日插值方法23/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis插值函数Pn(x)在n+1个互异插值节点xi(i=0,1,n )处与f(xi)相等,在不等于xi的点x处就用Pn(x)的值作为f(x) 的近似值，这一过程称为插值，点x称为插值点. 误差函数Rn(x)=f(x)- Pn(x)称为

12、插值余项, 区间a, b称为插值区间, 插值点x在插值区间内时称为内插, 否则称外插. (插值误差属于截断误差)y= f (x)y=pn (x)y= Rn(x)2.3 拉格朗日插值方法24/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis线性插值误差定理 设f(x)在a, b上一阶导数连续，且存在二阶导数, x0, x1为a, b上两个互异的节点, P1(x)为满足 P1(xi) = f(xi) (i=0,1)的线性插值多项式，则对于任何x a, b , 至少存在一点 a, b，使得2.3 拉格朗日插值方法25/168郑州大学2015-2016

13、学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis证明： 显然x0, x1 为R1(x)的两个零点，可设R1(x)为 R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1).固定x，作辅助函数，令则 (xi )=0, i =0,1,且 (x)=0, 即 (t )有3个零点 x0, x1, x. 不妨设x0 x x1 , 分别在x0，x和x，x1上应用洛尔定理可知 (t)在每个区间上至少存在一个零点1和2，使 (1)=0， (2)=0，即 (t)有2个零点. 再次利用洛尔定理知， (t)在1, 2上至少有一个零点，使 ()=0. 则由 (t) = f (t) -2!k(x)以及 ()=

14、0可得 k(x) = f () /2!，从而定理得证. 2.3 拉格朗日插值方法26/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis插值误差定理定理 设f(x)在a, b上n阶导数连续，且存在n+1阶导数, x0, x1 , xn为a, b上n+1个互异的节点, Pn(x)为满足 Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,n)的n次插值多项式，则对于任何x a, b , 至少存在一点 a, b，使得2.3 拉格朗日插值方法27/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis例 给定sin1

15、1=0.190809,sin12=0.207912, 求y=sinx的线性插值多项式，计算sin1130并估计误差.解: x0= 11, x1= 12, y0= 0.190809, y1， sin1130P1(11.5)=0.199361,由定理知，误差为2.3 拉格朗日插值方法28/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis例 已知f (x)的观测数据 x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 利用这些节点构造f(x)的Lagrange插值多项式.解: 构造三次Lagrange插值多项式的插值基函数 2.3 拉格朗日插值方法29

16、/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis从而，三次Lagrange插值多项式为 2.3 拉格朗日插值方法30/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis拉格朗日插值算法 31/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysisn 次拉格朗日插值的算法描述.输入节点数 n、插值点(xi, yi) (i=0,1,2, ,n)和要计算的函数点 x。.设初值 y = 0,k = 0;.实现基函数 lk(x)和插值多项式 Pn(x) for

17、k=0,1, , n t=1; for i=0, 1, , k1, k+1, , n t=t*(xxi)/(xkxi); y=y+t*yk; .输出 点x处的函数值y.2.3 拉格朗日插值方法32/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysisfunction v=polyinterpV2(x,y,u)m=length(u); n=length(x);v=zeros(size(u);for i=1:m v(i)=0; for k=1:n t=1; for j=1:k-1 k+1:n t=t*(u(i)-x(j)/(x(k)-x(j); end

18、 v(i)=v(i)+w*y(k); endend2.3 拉格朗日插值方法x=0:3;y=-5 -6 -1 16;u=-0.25:0.01:3.25;v=polyinterpV2(x,y,u);33/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法x=0:0.12:1;y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);plot(x,y,o,x,y)x1=0:0.02:1;y0=(x1.2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1);y1=interp1(x,y,x1); %线性插值y2=in

19、terp1(x,y,x1,cubic); %三次艾米特插值y3=interp1(x,y,x1,spline); %三次样条插值y4=interp1(x,y,x1,nearest); %最邻近插值plot(x1,y1 y2 y3 y4,:,x,y,o,x1,y0)legend(linear,cubic,spline,nearest, 样本点,原函数)34/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis例 取节点x0=0,x1=1,对函数y=e-x 建立线性插值多项式.解: 构造插值基函数为 可得线性插值多项式函数y=e-x满足定理2的条件，则对

20、任意x总存在一点 0，1，使得2.3 拉格朗日插值方法35/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis例 取节点x0=0,x1, x2=1，对函数 y=e-x 建立抛物插值多项式.解: 构造插值基函数为 可得二次插值多项式2.3 拉格朗日插值方法36/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis函数y=e-x满足定理3的条件，则对任意x总存在一点 0，1，使得抛物插值误差相对线性插值误差减小了一个数量级！2.3 拉格朗日插值方法37/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程

21、数值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法满足余项估计式(2.14)的使用条件知道被插值函数后验误差估计38/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法当 与 比较接近，且 连续且变化不大时，可以认为： 后验误差估计39/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法则有整理得称为插值余项的事后估计式.后验误差估计40/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analys

22、is2.3 拉格朗日插值方法例试用线性插值法计算 的值，并用事后估计式估计误差。解:用结点 作线性插值，经计算得 再用结点 作线性插值，经计算得 后验误差估计41/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis由事后估计式得将误差估计值加到 中去，可得修正后的近似值2.3 拉格朗日插值方法后验误差估计42/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis它作为精确值 的近似值具有四位有效数字，而 只有三位有效数字。注：利用后验误差改进计算结果的技术称为超收敛技术，在数值计算计算中效果良好。2.

23、3 拉格朗日插值方法后验误差估计43/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值Lagrange插值多项式的插值基函数形式复杂,计算量大,且重复计算很多！并且，当增加一个节点时，所有基函数需要重新计算。由线性空间的知识,任何一个n次多项式都可表示成共n+1个多项式的线性组合.可否将这n+1个多项式作为插值基函数呢？答案是肯定的。44/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值设插值多项式P(x)具有如下形式Newton插值公式45/168郑州大学201

24、5-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值则由插值条件可知P(x)满足再继续下去，待定系数的形式将更复杂。46/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值差商的定义和性质定义2.4.1.称是f(x)关于点x0,x1的一阶差商。是f(x)关于点x0,x1,x2的二阶差商。设函数 f(x)在互异的节点xi处有定义，47/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值差商的定义和性质一般地，k阶差商 定义为：f

25、(x)关于点xi的0阶差商。48/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值差商的定义和性质性质1 k阶差商 可表成节点上函数值 的线性组合，即 上式可用归纳法证明。例如,k =2时有 49/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值差商的定义和性质性质2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会改变差商的值。设 为 的任一排列, 则此性质的证明由性质(1)可得。例如50/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numer

26、ical Analysis2.4 牛顿插值差商的定义和性质性质3 若f(x)为n次多项式，则一阶差商 为n-1次多项式。 由定义令 ,则分子为0, 说明分子中含有因子 ,与分母约去公因子可得n-1次多项式。51/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值差商的定义和性质性质4 若f(x)在区间a,b上存在n+1阶导数， ,固定 , 则n+1阶差商与导数之间存在如下关系：52/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值差商的计算53/168郑州大学201

27、5-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值k xk f (xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商0 x0 f (x0)1 x1 f (x1) f x0, x12 x2 f (x2) f x1, x2 f x0, x1, x23 x3 f (x3) f x2, x3 f x1, x2, x3 f x0, x1, x2, x3 n xn f (xn) f xn 1, xn f xn 2, xn 1, xn f xn 3, xn f x0, x1, , xnN阶差商表54/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Nu

28、merical Analysis2.4 牛顿插值差商的计算例2.4.1 设 f (x)经过点(2, 17), (0, 1), (1, 2), (2, 19)求 f (x)关于节点-2,0,1,2的三阶差商。k xk f (xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商0 2 171 0 1 82 1 2 1 33 2 19 17 8 5/4解：列出差商表则， f -2,0=-8, f -2,0,1=3, f -2,0,1,2=5/4.55/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值线性插值给定两个插值点(x0, f (x0), (x

29、1, f (x1), x0 x1, 设 P1(x) = a0 + a1(x x0) 直线的点斜式代入插值点得， 线性Newton插值公式由插值的唯一性知，P1(x)与 Lagrange插值多项式为同一多项式，只是表达形式不同而已。56/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值二次插值 给定三个互异插值点(xi, f (xi), i =0,1,2, 设 代入插值条件： P2(xi) = f (xi), i =0,1,2, 得57/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analys

30、is2.4 牛顿插值二次插值二次Newton插值公式为58/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值n次插值给定n+1个插值点(xi, f(xi), i = 0, 1, 2, n, xi互异，类似地，由二阶至 n 阶差商的定义得上述所有n +1个等式相加，得59/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值n次插值n次Newton插值公式其中Pn(x)为n次Newton插值公式60/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Nume

31、rical Analysis2.4 牛顿插值n次插值n次Newton插值公式的插值误差为容易验证，Newton插值满足插值条件： Pn(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2, n.61/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值n次插值关于Lagrange插值和Newton插值的几点说明 1.由插值的唯一性,两种方法的Pn(x)相同.因此，它们的误差也相同,即当f (x)Cn+1a, b时，有故得差商的性质462/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysi

32、s2.4 牛顿插值n次插值 2.牛顿插值的误差不要求函数的高阶导数存在，所以更具有一般性。它对 f(x)是由离散点给出的函数情形或 f(x)的导数不存在的情形均适用。 3.Newton插值具有承袭性质，即 4.Newton插值公式的计算量 乘：1+2+ (n1)+ n = n(n+1)/2 除：n + (n1)+ 2+1 = n(n+1)/263/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值n次插值 5.引入记号: w0(x) = 1, w1(x) = x x0, w2(x) = (x x0)(x x1), , wn(x)

33、= (x x0)(x x1) (x xn1)，于是n次Newton插值公式可表为称 w0(x), w1(x), w2(x), , wn(x) 为Newton插值的基函数64/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值n次插值 且满足如下关系 wi(x) = wi1(x)(x xi1), i =1,2, n； wi(xj) = 0， j k g(j)=(g(j)-g(j-1)/(x(j)-x(j-k) j=j-1; endend for i=1:m v(i)=y(1); w=1; for k=2:n w=w*(u(i)-x(

34、k-1); v(i)=v(i)+w*g(k); endend74/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.4 牛顿插值n次插值75/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.5 分段线性插值从插值余项的表达式看到，插值多项式和被插值函数逼近的程度与插值节点的数目、位置和a,b长度均有关例2.5.0 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数，如果当x在(a,b)时，有f”(x)|=x(j) & (u(i)x(j+1) k=j; end end s=u(i

35、)-x(k); v(i)=y(k)+s*delta(k);end93/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值拉格朗日插值和牛顿插值 插值函数与被插值函数在节点上的函数值相等Hermite插值 插值函数与被插值函数在节点上的函数值相等。 插值函数与被插值函数在节点上的某阶导数值相等。 插值多项式具有更好的光滑性，够使插值函数近似程度更好。 94/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值 设 f (x)具有一阶连续导数，已知节点x

36、i上的函数值和导数值，即 (xi, f (xi), (xi, f (xi), i = 0, 1, 2, , n, 若存在 2n+1次多项式 H2n+1(x) 满足 则称 H2n+1(x) 为 f (x) 关于节点xi (i = 0,1,2,n)的Hermite插值多项式。 记 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0,1,2,n .问题描述95/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值 给定 f (xi) = yi , f (xi) = mi , i = 0, 1. 设 代入插值条件: H

37、3(xi) = f (xi), H3(xi) = f (xi), i =0,1. 得其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a2, a3, 代入即得 H3(x).三次Hermite插值96/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值问题: 如何构造节点插值基函数？分析基函数取值：三次Hermite插值 因为每个节点对应两个插值条件，因此每个节点对应两个插值基函数。 节点x0上对应的两个基函数分别为h0(x),g0(x)， 节点x1上对应的两个基函数分别为h1(x),g1(x)，97/168郑州大学2015-201

38、6学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值函数的的形式三次Hermite插值98/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值表99/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值四个插值基函数的性质100/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermi

39、te插值三次Hermite插值101/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值102/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值103/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值104/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2

40、.6 Hermite插值例三次Hermite插值105/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值直接计算基函数可得106/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值于是有由此得到而 ，107/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值function v=hermite3(x,y,m,

41、u)k=length(u);v=zeros(size(u);h=0 0;g=0 0;for i=1:k v(i)=0; h(1)=(1-2*(u(i)-x(1)/(x(1)-x(2)*(u(i)-x(2)/(x(1)-x(2)2; h(2)=(1-2*(u(i)-x(2)/(x(2)-x(1)*(u(i)-x(1)/(x(2)-x(1)2; g(1)=(u(i)-x(1)*(u(i)-x(2)/(x(1)-x(2)2; g(2)=(u(i)-x(2)*(u(i)-x(1)/(x(2)-x(1)2; v(i)=v(i)+y(1)*h(1)+y(2)*h(2)+m(1)*g(1)+m(2)*g(2

42、);end108/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值三次Hermite插值误差定理定理109/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值例110/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值111/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical A

43、nalysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值112/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值分段插值的优点能有效的克服荣格现象。容易构造每个插值节点上的插值基函数。 构造的算法容易在计算机上实现。113/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值114/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 He

44、rmite插值将n重节点看成n个独立的点，按Newton插值公式直接写出Newton法构造Hermite插值将n重节点的差商：由差商与导数之间的关系因此，可以通过构造差商表直接写出。例：115/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值116/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值构造插值基函数的思路 117/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Num

45、erical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值构造插值基函数的思路 118/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值119/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值120/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值121/168郑州大学

46、2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值分段三次Hermit插值函数的形式是122/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值误差定理定理123/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值124/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analy

47、sis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值125/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis分段低次插值的收敛性2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值126/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值127/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值function v=piecehermite3

48、(x,y,m,u)k=length(u);v=zeros(size(u);t=length(x);piece=(k-1)/(t-1);partv=zeros(piece+1);for i=1:t-1 partx=x(i) x(i+1); party=y(i) y(i+1); partm=m(i) m(i+1); partu=x(i):(x(i+1)-x(i)/piece:x(i+1); partv=hermite3(partx,party,partm,partu); v(i-1)*piece+1:i*piece+1)=partv;end128/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程

49、 数值分析 Numerical Analysis 上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求。从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值(spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。2.7 样条插值函数 129/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 分段线性插值构造了一个整体连续的函数；分段三次Hermit

50、e插值构造了一个整体上具有一阶连续导数的函数。 实际问题中，给出插值节点上的函数值比较方便，而给出插值节点上的导数值会比较困难。? 能否在只给出节点函数值的情况下，构造一个整体上光滑性比较好的插值函数呢？ 样条插值130/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 样条这一名称来自于工程实践活动 样条插值131/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 样条插值132/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numeri

51、cal Analysis2.7 样条插值函数 样条插值定义133/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 样条插值定义134/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.样条插值条件分析2.7 样条插值函数 135/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 样条插值136/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条

52、插值函数 样条插值条件137/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 样条插值条件138/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 样条插值条件139/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 样条插值140/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 三弯矩插值法141/168郑州大学

53、2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 三弯矩插值法142/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2.7 样条插值函数 三弯矩插值法143/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 144/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 145/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数

54、值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 146/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 147/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis（2）构造三弯矩方程三弯矩插值法2.7 样条插值函数 148/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 149/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 150/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 151/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis三弯矩插值法2.7 样条插值函数 152/168郑州大学2015-2016学年硕士研究生课程 数值分析 Num