广东省梅州市梅雁中学2022-2023学年高二数学理月考试卷含解析

广东省梅州市梅雁中学2022-2023学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“?x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（）A．?x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．?x∈R，x2+2x﹣1＜0C．?x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．?x∈R，x2+2x﹣1＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知：?x∈R，x2+2x﹣1＜0的否定为?x∈R，x2+2x﹣1≥0，故选：C．2.同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.【详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.3.下列语句中：①

②

③

④

⑤

⑥

其中是赋值语句的个数为（

）A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C4.设△ABC的三边长分别的a,b,c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则；类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为，内切球的半径为R，四面体P-ABC的体积为V,则R等于A

B

C

D

参考答案：C略5.已知函数是偶函数，且，则（▲）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.已知全集，集合，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B7.下列命题一定正确的是（▲）

A.三点确定一个平面

B.依次首尾相接的四条线段必共面

C.直线与直线外一点确定一个平面

D.两条直线确定一个平面参考答案：CA：不共线的三点确定一个平面，故错误；B：空间四边形，不共面，故错误；C：正确；D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误。8.图象可能是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在上的单调性即可得出结论．【详解】显然是偶函数，图象关于轴对称，当时，，显然当时，，当时，，而，所以，∴在上恒成立，∴在上单调递减．故选：D．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在右图的正方体中，棱BC与平面ABC1D1所成的角为（

）A．30°

B．45°

C．90°

D．60°

参考答案：B10.已知△ABC的周长为20，且顶点B(－4，0)，C(4，0)，则顶点A的轨迹方方程是

（

）A．（y≠0） B．（y≠0）

C．（y≠0） D．（y≠0）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．12.设函数f（x）=+ax，若f（x）在（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立，分离参数可得a≤在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，不等式转化为a≤，求出函数的最小值即可得出a的范围．【解答】解：f′（x）=，∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，即a≤在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，则t＞0，设g（t）=，则g′（t）==，∴当0＜t＜2时，g′（t）＜0，当t＞2时，g′（t）＞0，∴当t=2时，g（t）取得最小值g（2）=﹣．∴a≤﹣．故答案为：（﹣∞，﹣]．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值得计算，函数恒成立问题研究，属于中档题．13.设函数，则曲线在点处的切线方程为

．参考答案：

14.已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．则下列说法中不正确的编号是

．（写出所有不正确说法的编号）（1）当x=时函数取得极小值；（2）f（x）有两个极值点；（3）c=6；（4）当x=1时函数取得极大值．参考答案：（1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，导函数是二次函数，由导函数的图象可知原函数的单调区间，从而判出极值点，结合导函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，得到c的值，然后注意核对4个命题，则答案可求．【解答】解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x）=3x2+2bx+c．由导函数的图象可知，当x∈（﹣∞，1），（2，+∞）时f′（x）＞0，当x∈（1，2）时f′（x）＜0．所以函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）减区间为（1，2）．则函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=2时取得极小值．由此可知（1）不正确，（2），（4）正确，把（1，0），（2，0）代入导函数解析式得，解得c=6．所以（3）正确．故答案为（1）．15.直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，则直线l的方程为__________________.参考答案：2x＋3y－12＝0设直线方程为，当时，；当时，，所以，解得，所以，即。16.已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是________.参考答案：－1<a<7易知f′(x)＝3x2＋4x－a.因为函数在区间(－1，1)上恰有一个极值点，所以g(x)＝3x2＋4x－a＝0在区间(－1，1)上只有一个解，故有g(－1)·g(1)<0,所以，(－1－a)(7－a)<0，所以－1<a<7.17.已知命题．则是__________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若成立，求的取值范围；（Ⅱ）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式，并写出在上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】对数不等式的解法、函数解析式的求法、奇函数、不等式恒成立问题【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）

在和上递减；在上递增；（Ⅲ）

解析：解：（Ⅰ）由得，解得，所以x的取值范围是；（Ⅱ）当－3≤x≤－2时，g(x)=－g(x+2)=g(－x－2)=f(－x－2)=，当－2＜x≤－1时，g(x)=－g(x+2)=－f(x+2)=－，综上可得

在和上递减；在上递增；（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）知，若g(x)=，得x=或，由函数g(x)的图象可知若在上恒成立记当时，，则

则

解得当时，，则

则

解得综上，故

【思路点拨】解对数不等式时注意其真数的限制条件，本题中的不等式恒成立问题可结合函数的图象建立条件求范围.19.已知函数f（x）=（x+1）2﹣alnx．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，+∞）内任取两个不相等的实数x1，x2，不等式恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，导函数，①当a≤0时，②当a＞0时，判断导函数的符号，推出函数的单调性．（Ⅱ）不妨令x1＞x2，则x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），则x+1∈（1，+∞），不等式，推出f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1），设函数g（x）=f（x）﹣x，利用函数的导数利用函数的单调性与最值求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的定义域为x＞0，，…（2分）①当a≤0时，f'（x）＞0在x＞0上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）②当a＞0时，方程2x2+2x﹣a=0有一正根一负根，在（0，+∞）上的根为，所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．…（6分）（Ⅱ）不妨令x1＞x2，则x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），则x+1∈（1，+∞），由f（x1+1）﹣f（x2+1）＞（x1+1）﹣（x2+1）?f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1）…（8分）设函数g（x）=f（x）﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函数，所以，…（10分）又函数g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函数，只要在（1，+∞）上2x2+x≥a恒成立，y=2x2+x，在（1，+∞）上y＞3，所以a≤3．…（12分）【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值以及函数的单调性最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20.已知椭圆（）的离心率，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于，两点，当是中点时，求直线方程．参考答案：（1）设椭圆的焦距为，则∴∴椭圆的方程为：.（2）设，.则，，∴又，∴.∴直线方程为即.21.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）证明：当时，.参考答案：（1）见解析（2）见解析【分析】（1）求得函数的导数，利用导数函数取值的符号，得到函数的单调性，进而求解函数的极值，得到答案．（2）令，则，设，求得函数的导数，求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）由题意，函数，可得定义域，，令得或，可得的变化情况如下表：01+0-0+↗极大值↘极小值↗

所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是，当有极大值，当有极小值．（2）令，则，设，则，当时，恒成立，所以在上是增函数，所以，又因为，所以，所以在上是增函数，所以，也就是，即当时，．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，