广东省梅州市松源中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省梅州市松源中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为（

）

A．

B．

C．

D．1

参考答案：B略2.如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.已知定义在(0,+∞)上的函数，恒为正数的符合，则的取值范围为（

）A.(e,2e)

B.(,)

C.(e,e3)

D.(,)参考答案：D令，则，所以，选D.4.已知向量,,,若为实数，，则的值为A． B． C． D．参考答案：A略5.等差数列的前20项和为300，则等于A．60

B．80

C．90

D．120参考答案：C6.设偶函数满足，则不等式＞0的解集为（

）A.＜0或＞

B.＜或＞C.＜0或＞

D.＜或＞参考答案：A7.设集合,则满足的集合的个数是（

）

A．1

B．3

C．4

D．8参考答案：C8.若双曲线的离心率是，则实数（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.函数f（x）=的零点个数为（） A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个参考答案：考点： 根的存在性及根的个数判断．专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．分析： 分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．解答： 解：①x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0时，由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，其有（0，+∞）上有两个交点，故有两个解；则函数f（x）=的零点个数为3．故选C．点评： 本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．10.若函数的递减区间为，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：利用导数研究函数的单调性.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，若，则

。参考答案：略12.将函数的图像向左平移个单位后所得的图像关于y轴对称，则的最小值为_____________.参考答案：略13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆＝4cos的圆心到直线的距离是＿＿＿＿参考答案：114.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋y的最大值为_____．参考答案：215.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=

．参考答案：1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．解答： 解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．点评：本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．16.函数在实数范围内的零点个数为

..参考答案：个零点略17.已知AB是圆的一条弦，点P为AB上一点，,PC交圆于点C，若,,则PC的长为 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0．（1）若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．参考答案：考点：一元二次不等式的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当m=0时，经检验不满足条件；解得m≠0时，设f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，则由题意可得有，解得m∈?．综合可得结论．（2）由题意﹣2≤m≤2，设g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），则由题意可得，由此求得x的取值范围．解答：解：（1）当m=0时，1﹣2x＜0，即当时不等式恒成立，不满足条件．…（2分）解得m≠0时，设f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，由于f（x）＜0恒成立，则有，解得m∈?．综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立．…（6分）（2）由题意﹣2≤m≤2，设g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），则由题意可得g（m）＜0，故有，即，解之得，所以x的取值范围为．…（12分）点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题．19.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．参考答案：解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，方法1、韦达定理法易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．方法2、点差法设，则①②②-①得：即③②+①得：即④由③④得：，∵|AB|=∴∴解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．20.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示，圆0的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作

DEAE于点E，延长ED与圆O交于点C．

(1)证明：DA平分BDE

(2)若AB=4，AE=2，求CD的长．

参考答案：（1）略（2）【知识点】几何证明选讲N1（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，

∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，

又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADB=∠ADE．∴DA平分∠BDE．

（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，

∴，化为BD=2AD．∴∠ABD=30°．∴∠DAE=30°．∴DE=AEtan30°=．

由切割线定理可得：AE2=DE?CE，∴22=(+CD)，解得CD=．【思路点拨】（1）由于AE是⊙O的切线，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直径，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．

（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割线定理可得：AE2=DE?CE，即可解出．21.设函数f（x）=emx+x2﹣mx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（2）利用函数的单调性，判断函数的极值，转化对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，得到不等式组，即可求解m的范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）函数f（x）=emx+x2﹣mx，可得f′（x）=m（emx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的要条件是，即，①令g（x）=ex﹣x，则g（x）=ex﹣1，g（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0单调递减，不妨设g（x0）=e﹣1，因为，所以x0∈（﹣2，﹣1），所以，综上，m的取值范围为[﹣1，1]．【点评】本题考查导数与函数的单调性的