广东省梅州市宁塘中学2021年高三数学理月考试卷含解析

广东省梅州市宁塘中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定积分sinxdx=（）A．1﹣cos1 B．﹣1 C．﹣cos1 D．1参考答案：A【考点】定积分．【分析】找出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=1﹣cos1；故选A．2.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.现有四个函数：①

②

③④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①参考答案：C4.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为A.

B.C.

D.

参考答案：B5.双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为，当取最小值时，双曲线的实轴长为A.

B.

C.

D.4参考答案：B6.设，则复数在复平面内对应的点位于（

）

（A）第一象限

（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：答案：C7.已知是定义在R上的奇函数，且时，，若方程有两个根，则实数a的取值范围是

(

)

(A)[-4,4]

(B)

(C)

(D)参考答案：B8.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠?，则b等于(

) A．1 B．2 C．3 D．1或2参考答案：D考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠?，可得b值．解答： 解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠?，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．9.某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）A．3+2 B．6+4 C．6 D．10参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，根据已知求出长宽高，代入长方体表面积公式，可得答案．【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，由题意得：，解得：，故该长方体的表面积S=2（xy+xz+yz）=6+4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】当x＜0时，判断函数的值的符号，x＞0时函数值的符号，即可判断选项．【解答】解：函数y=，可知x≠0，排除选项A；当x＜0时，3x＜1，y＜0，x＞0时，y＞0，排除选项C，D；故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{}满足，则该数列的前20项的和为

．参考答案：略12.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则

．参考答案：4略13.

;参考答案：.14.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．参考答案：略15.设函数的导数为，且，则=______.参考答案：0【分析】对求导，可得，将代入上式即可求得：，即可求得，将代入即可得解【详解】因为，所以.所以，则，所以则，故.【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算能力，属于中档题。16.已知数列{an}满足.记，则数列{Cn}的前n项和=

．参考答案：n·2n由得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，记，则

（1），式子两边都乘以2得

（2），两式相减得：所以，故答案为.

17.对函数，若存在区间M=[a,b]使得=M，则称为“稳定函数”，给出下列函数①=x2;

②

③其中为“稳定函数”的序号为

参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在中，角的对边分别为，已知成等比数列，且．（1）若，求的值；

（2）求的值．参考答案：解：（1）由，得．

2分因为，所以．

4分由余弦定理，得，则，故．

6分（2）由，得．

由及正弦定理得，

9分于是

12分19.（本小题满分14分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为，求的分布列和数学期望参考答案：解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．

……1分则P(A)=，（列式正确，计算错误，扣1分）

………3分

P(B)

（列式正确，计算错误，扣1分）………5分

三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．

P(C)．…7分（Ⅱ）设摸球的次数为，则．

……8分，

，

，．（各1分）故取球次数的分布列为

1234…12分．(约为2.7)

…14分略20.某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]购物单张数252530？？

由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为．若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销．参考答案：(1);(2)580000.试题分析：（1）由消费在区间的频率为，可知中位数估计值为，设所求概率为，利用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和等于求解即可；（2）根据，解得，可得一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，，从而可得一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，，，进而可得结果.试题解析：（1）因消费在区间的频率为，故中位数估计值即为.设所求概率为，而消费在的概率为.故消费在区间内的概率为.因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得.（2）设等比数列公比为，根据题意，即，解得.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，.今年的购物单总数约为.其中具有抽奖资格的单数为，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，，.于是，采购奖品的开销可估计为（元）.21.已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为（），直线l的参数方程为（t为参数）.（1）若，直线l与x轴的交点为M，N是圆C上一动点，求的最小值；（2）若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径，求a的值.参考答案：（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，化为直角坐标方程为，即.直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为因为圆心与点的距离为，所以的最小值为.（2）由可得，所以圆的普通方程为因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的倍，所以.解得，又，所以试题立意：本小题考查直线和圆的极坐标方程，参数方程以及直角坐标方程，圆中的垂径定理和勾股定理.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.22.（本题满分12分）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，任意的，证明：参考答案：（1）当时，，函数在上为增函数；当时，令，可得，令，可得，所以函数在上为增函数，在上为减函数------------------（5分）