广东省梅州市农业中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省梅州市农业中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A．12 B．24 C．24 D．48参考答案：B【考点】8G：等比数列的性质．【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式得出q2=2，再求值即可．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，且q≠0，∵a2+a6=3，a6+a10=12，∴q4=4，∴q2=2，∴a8+a12=q6（a2+a6）=24故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题．2.“Inx>1”是“x>l"的A．充要条件

B．必要非充分条件C．充分非必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C3.已知，且ab>0，则下列不等式不正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B4.复数（为虚数单位）的虚部是

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知实数x，y满足，如果目标函数的最大值为3，则m的值为（）A．3 B． C． D．参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数列式求得m值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，由目标函数的最大值为3，可知直线的最小截距为﹣3，由图可知，当直线过可行域的边界点（m﹣1，1）时，zmax=3，∴3=，解得m=．故选：B．6.设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∩B=（）A．? B．（2，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，容易计算集合A∩B．【解答】解：∵A={x|y=log2（x﹣2）}=（2，+∝），B={x|x2﹣5x+4＜0}=（1，4），∴A∩B=（2，4）．故选B．7.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则的面积为（A）

（B）

（C） （D）参考答案：B略8.已知圆的直径为,为圆上任意一点,则=.

参考答案：2略9.已知命题p:x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,则p是 （）A．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

B．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0D．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0参考答案：C略10.定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即loga（2+1）＞f（2）=﹣2，∴loga3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空,样本数据落在范围[10,14]内的频数为________．

参考答案：3612.(2009山东卷理)不等式的解集为

.参考答案：解析：原不等式等价于不等式组①或②或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为.13.设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=．参考答案：2【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．【解答】解：∵N（2，32）?，，∴，解得c=2，故答案为：2．【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．14.已知双曲线（>0，>0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____________.参考答案：略15.若行列式，则

．参考答案：116.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是

参考答案：17.在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(a，b均为正常数).（1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值，①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；②若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.参考答案：（1）证明：，所以，函数在内至少有一个零点（2）由已知得：所以a=2，所以f（x）=2sinx﹣x+b①不等式恒成立可化为：sinx﹣cosx﹣x＞﹣b记函数g（x）=sinx﹣cosx﹣x，，所以在恒成立函数在上是增函数，最小值为g（0）=﹣1所以b＞1，所以b的取值范围是（1，+∞）②由得：，所以m＞0令f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得∵函数f（x）在区间（）上是单调增函数，∴∴6k≤m≤3k+1∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1

∴k=0

∴0＜m≤1略19.（本小题满分13分）已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；(3)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.参考答案：解:(1)因为的垂直平分线交于点.所以所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆

……………2分设椭圆的标准方程为则，，则椭圆的标准方程为……4分(2)设，则

①因为则

②由①②解得

……………7分所以直线的斜率

……………8分(3)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:

得 …………9分由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，设则假设在轴上存在定点，满足题设，则因为以为直径的圆恒过点,则，即:

(*)因为则(*)变为…………11分由假设得对于任意的,恒成立，即解得……13分因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.………………13分20.已知椭圆E：的离心率e=，左顶点为A（﹣2，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）已知O为坐标原点，B，C是椭圆E上的两点，连接AB的直线平行OC交y轴于点D，证明：|AB||成等比数列．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由，a=2得，，即可得出．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），OC：y=kx，则AB：y=k（x+2），将y=k（x+2）代入椭圆方程整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得：|AB|，|AD|．将y=kx代入，整理得（1+2k2）x2﹣4=0，可得|OC|2．可得|AB|?|AD|=2|OC|2，即可证明．【解答】解：（1）由，a=2得，故椭圆C的方程为．证明有：（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），OC：y=kx，则AB：y=k（x+2），将y=k（x+2）代入，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，∴，得，，，．将y=kx代入，整理得（1+2k2）x2﹣4=0，得，．故|AB|?|AD|=2|OC|2，所以，成等比数列．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.（I）证明：四边形是矩形；（II）求直线与平面夹角的正弦值.参考答案：

（1）省略 （2） （1）（2）22.已知△ABC的面积为S，且?=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为2，且f（）=1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．参考答案：【考点】余弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由条件利用余弦函数的图象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根据f（）=1求得B，再利用条件求得A，从而△ABC是直角三角形，从而计算△ABC的面积S．（Ⅱ）利用正弦定理求得△ABC的外接圆半径R，再化减S+3cosBcosC为3cos（B﹣C），从而求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y