广东省梅州市中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省梅州市中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．5π B．9π C．16π D．25π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】判断几何体的形状，求出球的半径，然后求解球的表面积．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面直径为3，高为4的圆柱与它的外接球组成的几何体，球的直径为5，所以表面积为25．故选：D．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的外接球的表面积的求法，考查计算能力．2.已知COS()-sin=，则sin(-)的值是(

)A.-

B．

C．-

D．参考答案：D3.

函数则a的所有可能值为（

）A．1

B．

C．1，

D．1，参考答案：C4.函数的图象是参考答案：B令，令.所以图像过点.5.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A?B成立，反之判断“A?B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；反之当A?B时，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件故选A．6.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(

)

A

y=cos2x，xR

B.

y=log2|x|，xR且x≠0

C.y=，xR

D.，xR 参考答案：BA,B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，排除C,D.当时，单调递增，选B.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A.

B.

C.

D.12参考答案：C8.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．【解答】解：∵，∴z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．故选：C．9.若实数满足不等式组则的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：D10.已知抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），=3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（）A．B．C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得丨AB丨及中点E，利用点斜式方程，求得G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，则设丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60°∴直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=．则直线l的方程为：y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：3x2﹣10x+3=0，则x1+x2=，x1x2=1，则y1+y2=（x1﹣1）+（x2﹣1）=，=，∴AB中点E（，），则EG的方程的斜率为﹣，则EG的方程：y﹣=﹣（x﹣），当x=0时，则y=，则G（，0），则G到直线l的距离d==，丨AB丨=x1+x2+p=，则S△ABG=×丨AB丨?d=××=，故选C．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为．参考答案：﹣5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=﹣2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：设x，y满足约束条件：，在直角坐标系中画出可行域△ABC，由，可得A（2，﹣1），所以z=﹣2x+y的最小值为﹣5．故答案为：﹣512.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是

.参考答案：由三视图可知，该几何体的上面是个半球，球半径为1，下面是个圆柱，底面半径为1，圆柱的高为1.所以该几何体的体积为。13.函数的定义域为参考答案：(1,1+e)14.下列命题①②③函数的最小值是4④其中正确命题的序号是

参考答案：②④略15.设数列的前n项的和为，且，则等于__._.参考答案：6因为，所以，所以数列是以为公比的等比数列，所以，所以.16.(－an)=b，则a+b=

.参考答案：答案：－1017.一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为．参考答案：【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半，进而得到各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面暴露在外面部分的面积和为1，累加后即可得到答案．【解答】解：最下边正方体的侧面积为4×1=4从下边数第二个正方体的侧面积为4×=2从下边数第三个正方体的侧面积为4×=1…即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列故Sn=当n=6时S6==而除侧面外其它面的和为1，故6个正方体暴露在外面部分的面积和为+1=故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，等比数列的前n项和，其中根据已知条件将问题转化为等比数列的前n项和问题，是解答本题的关键．解答时易忽略6个正方体暴露在外面部分不包括下底面，但包括上底面，而错解为或．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是公差为3的等差数列，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．参考答案：（1）由已知且，得，所以是首项为4，公差为3的等差数列，通项公式为；（2）由（1）知，得：，，因此是首项为、公比为的等比数列，则．19.在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】对第（Ⅰ）问，根据“”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；对第（Ⅱ）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα?cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1?t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．20.直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）。（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，写出C1的极坐标方程；（2）射线与C1交l的交点分别为M，N，射线与C1和l的交点分别为A，B，求四边形ABNM的面积.参考答案：(1)；(2).试题分析：（1）将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍得，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可.试题解析：(1)所以极坐标方程为：(2)将代入直线的极坐标方程得到，由与得21.（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：(a＞b＞0)上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率；（2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为，由向量数量积的坐标运算列出式子，代入化简后求出k的值，即得直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），∴，解得，则=，∴椭圆G的离心率e==；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1，由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0，∴3+x1=，3x1=，则x1=，∵以BC为直径圆经过点A，∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）?（x1，y1﹣2）=0，∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0，∴（3﹣k）x1+3k+1