广东省揭阳市洪冶中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省揭阳市洪冶中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3 B．k≥e3 C．k＞e4 D．k≥e4参考答案：C【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．2.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是A．

B．

C．

D．

参考答案：D略3.如图，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE分别交△ABC的外接圆D，E，且BD、CE相交于点F，则四边形AEFD是A.圆内接四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形参考答案：B4.已知都是实数，且，则“”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略5.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（

）．（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】由于且，那么，所以，即，由于，所以的最大值为.故答案为C.6.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二项展开式的系数和为，所以，二项展开式为，令，得，所以常数项为,选B。7.已知z=（i为虚数单位），则|z|=（）A． B．1 C． D．2参考答案：B【考点】复数求模．【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：z=====+i，∴|z|==1，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．8.已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．9.某林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会对树苗进行检测。现从甲、乙两种树苗中各抽取10株，测量其高度，所得数据如茎叶图所示，则下列描述正确的是（

）A.甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲树苗比乙树苗长得整齐B.甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙树苗比甲树苗长得整齐C.乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲树苗比乙树苗长得整齐D.乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙树苗比甲树苗长得整齐参考答案：C略10.若，定义，如,则函数的奇偶性为（

）A是奇函数不是偶函数

B是偶函数不是奇函数C既是奇函数又是偶函数

D非奇非偶函数参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题中：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②已知函数y=f（3x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0]；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）参考答案：③④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】求出使集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素的k值判断①；由已知求得x2﹣x﹣2的值判断②；由函数单调性的判定方法判断③；画图求出方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数判断④．【解答】解：对于①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；或k=0，所以①不正确；对于②已知函数y=f（3x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0]；定义域一个是：[]，sy②不正确；对于③，函数y==﹣，∵y=在（﹣∞，0）上是减函数，∴y=﹣在（﹣∞，0）上是增函数，故③正确；对于④，画出函数y=2|x|﹣1与y=log2（x+2）的图象如图：由图可知，方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2，故④正确．故答案为：③④．12.设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是______

__.参考答案：13.函数的部分图象如图所示,则ω=

;函数f(x)在区间[,π]上的零点为参考答案：本题考查三角函数图象与性质由图得,即最小正周期又因为,且,解得由图得时,又因为,所以的零点即的图象与轴交点的横坐标则,解得因为,得到所以零点为14.已知函数y=f（x），x∈R，给出下列结论：①若对于任意x1，x2且x1≠x2都有＜0，则f（x）为R上的减函数；②若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0则f（x）＞0的解集为（﹣2，2）；③若f（x）为R上的奇函数，则y=f（x）﹣f（|x|）也是R上的奇函数；④t为常数，若对任意的x都有f（x﹣t）=f（x+t），则f（x）的图象关于x=t对称．其中所有正确的结论序号为．参考答案：①【考点】抽象函数及其应用．【分析】由单调性的定义，即可判断①；由偶函数的单调性可得f（x）在[0，+∞）上递增，f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，计算即可判断②；由奇偶性的定义，即可判断③；由周期函数的定义，可得f（x）为周期函数，并非对称函数，若f（x）满足f（t+x）=f（t﹣x），则f（x）关于直线x=t对称，即可判断④．【解答】解：对于①，若对于任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0，即当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），则f（x）为R上的减函数，则①对；对于②，若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0]内是减函数，则f（x）在[0，+∞）上递增，f（2）=f（﹣2）=0，则f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜﹣2，则②错；对于③，若f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）﹣f（|﹣x|）=﹣f（x）﹣f（|x|），即有y=f（x）﹣f（|x|）不是奇函数，则③不对；对于④，若对任意的x都有f（x﹣t）=f（x+t），即有f（x）=f（x+2t），即f（x）为周期函数，并非对称函数，若f（x）满足f（t+x）=f（t﹣x），则f（x）关于直线x=t对称，则④错．故答案为：①．15.若函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，2ln2）略16.设正数数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则__________参考答案：17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为．参考答案：6【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=6x，∴焦点F（1.5，0），准线l方程为x=﹣1.5，∵直线AF的斜率为﹣，直线AF的方程为y=﹣（x﹣1.5），当x=﹣1.5时，y=3，由可得A点坐标为（﹣1.5，3）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），∴|PF|=|PA|=4.5﹣（﹣1.5）=6．故答案为6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）复数，（其中，为虚数单位）.在复平面上，复数、能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数，能表示同一个点，则,

……3分解得或.

………………7分当时，得，此时.

……………9分当时，得，此时.

……………11分综上，复平面上该点表示的复数为或．

……………12分19.设点在以、为左、右焦点的双曲线：上，轴，，点为其右顶点，且.（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）设过点的直线与交于双曲线不同的两点、，且满足,(其中为原点)，求直线的斜率的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得且，解得，则双曲线的方程为

……（4分）（Ⅱ）设，，由，有

…（6分）显然，不合题意；当轴时，，，也不合题意

…（8分）于是，由，消去，整理得：，，

………（10分）由故斜率的取值范围是.

………（12分）略20.在数列{an}中，若且则称{an}为“J数列”.设{an}为“数列”，记{an}的前n项和为Sn（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：{an}中总有一项为1或3.参考答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）根据递推公式列出数列中的项，找规律，发现周期性即可得到答案;（2）根据题意分情况进行求解即可得到答案;（3）首先证明：一定存在某个，使得成立，再进行检验即可得到答案.【详解】（1）当时，中的各项依次为，即数列从第四项开始每三项是一个周期，所以，，，所以.

（2）①若是奇数，则是偶数，，由，得，解得，适合题意.②若是偶数，不妨设，则.若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.综上，.

（3）首先证明：一定存在某个，使得成立.否则，对每一个，都有，则在为奇数时，必有；在为偶数时，有，或.因此，若对每一个，都有，则单调递减，注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个，使得成立.经检验，当，或，或时，中出现；当时，中出现，综上，中总有一项为或.【点睛】本题主要考查递推数列以及推理知识的综合应用，考查学生逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力，属中档题.21.（10分）（2013?长春一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．参考答案：【考点】：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（1）由题意可知：平面AA1C1C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A1O⊥AC就行了．（2）此小题由于直线A1C与平面A1AB所成角不易作出，再由第（1）问的结论可以联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转化成法向量n与所成的角去解决（3）有了第（2）问的空间直角坐标系的建立，此题解决就方便多了，欲证OE∥平面A1AB，可以转化成证明OE与法向量n垂直解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．（1分）又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC．（4分）（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，所以得：则有：．（6分）

设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，令y=1，得所以．（7分）．（9分）因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．（10分）（Ⅲ）设，（11分）即，得所以，得，（12分）令OE∥平面A1AB，得，（13分）即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，即存在这样的点E，E为BC1的中点．（14分）【点评】：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力22.（本题满分13分）已知椭圆，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的椭圆的右焦点任作一条斜率为（