广东省揭阳市惠来鳌江中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省揭阳市惠来鳌江中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）A．3盏灯 B．192盏灯 C．195盏灯 D．200盏灯参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意设顶层的灯数为a1，由等比数列的前n项和公式求出首项a1=3，从而能求出第7项的值，由此能求出塔的顶层和底层共有几盏灯．【解答】解：由题意设顶层的灯数为a1，则有=381，解得a1=3，∴=3×26=192，∴a1+a7=195．故选：C．【点评】本题考查等比数列的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．2.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N.若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为

(A)

(B)

(c)

(D)参考答案：D本题主要考查了球的性质和二面角的概念，难度较高。

球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，如图

由题意球半径,圆M半径为2，所以

又因为圆面M与圆面N成的二面角为60°，所以

则，所以圆N的半径为，圆N的面积为.3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.参考答案：C【分析】将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数的取值范围.【详解】函数有6个零点，等价于函数与有6个交点，当时，，当时，，，当时，递增，当时，递减，的极大值为：，作出函数的图象如下图，与的图象有6个交点，须，表示为区间形式即.故选：C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.奇函数f（x）的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，则f(1)=1,则f(8)+f(9)=(

)A.－2

B.－1

C.0

D.1参考答案：D5.已知平面四边形ABCD的两条对角线互相垂直，，，点E在四边形ABCD上运动，则的最小值为（

）A.－4 B.－3 C.－1 D.3参考答案：B【分析】根据平面图形的对称性，只需讨论点在边上的运动情况，当点在边上运动时，利用共线向量和向量的加减运算，化简为，再求最小值，同理可得到当点在边上运动时，的最小值，【详解】由题意可知，四边形是关于直线对称的图形，故点在四边形的四条边上运动时，仅需考虑点在边上的运动情况，易知，所以，①当点在边上运动时，设，则，,当时，取得最小值-1；②当点在边上运动时，设，则，，当时，取得最小值-3,综上：的最小值是-3.故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算，本题以四边形为载体，将向量知识迁移到几何情景中考查，突出考查了直观想象和运算能力，本题的难点是转化向量，即，后面的问题迎刃而解.6.若A,则，就称A是合作关系集合，集合A=的所有非空子集中,具有合作关系的集合的个数为

（▲）A.

B.

C.16

D.15参考答案：D略7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为

A．

B．

C．

D．参考答案：B

取的中点，的中点为，因为为等腰三角形，故，同理，，所以有平面．因为平面，故平面平面．在四棱锥中过点作的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，连接．因为，平面，平面平面，故平面．因为平面，故，又，，故平面，又平面，故，所以为二面角的平面角．设，则，，，所以，其中．令，则，令且，当时，；当时，；所以，故，故选B．

8.（5分）命题“?x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）A．?x∈R，x3﹣2x+1≠0

B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0C．?x∈R，x3﹣2x+1=0

D．?x∈R，x3﹣2x+1≠0参考答案：考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：因为特称命题“?x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：?x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案解答：“?x∈R，x3﹣2x+1=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，从而答案为：?x∈R，x3﹣2x+1≠0．故选D．点评：本题考查了全称命题，和特称命题的否定，属于基础题，应当掌握．9.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，见到红灯的概率是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40秒，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，根据等可能事件的概率得到答案．解答： 解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，设红灯为事件A，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，根据等可能事件的概率得到出现红灯的概率．故选A．点评：本题考查等可能事件的概率，是一个由时间长度之比确定概率的问题，这是几何概型中的一类题目，是最基础的题．10.右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是

.参考答案：12.．若函数对定义域的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①是“依赖函数”；②是“依赖函数”；③是“依赖函数”；④是“依赖函数”；⑤，都是“依赖函数”，且定义域相同，则是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是________________．参考答案：②③略13.设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为____．参考答案：14.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为．参考答案：y=﹣2cos4x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象；再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为y=﹣2cos4x的图象，故答案为：y=﹣2cos4x．【点评】本题主要考查诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15.设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝

。参考答案：16.已知满足,则的最大值为

参考答案：317.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的a=_____.参考答案：3【分析】解法一：按照程序框图运行程序，直到时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解与的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：，则，，，不满足，循环；则，，，不满足，循环；则，，，不满足，循环；则，，，满足，输出解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数因为与的最大公约数为

本题正确结果：【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号；若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（Ⅰ）求第二次取球后才“停止取球”的概率；（Ⅱ）求停止取球时所有被记下的编号之和为的概率．参考答案：解：（Ⅰ）记第二次取球后才“停止取球”为事件A．．答：第二次取球后才“停止取球”的概率为．

………6分（Ⅱ）记停止取球时所有被记下的编号之和为为事件．记下的编号为2、4、1为事件，记下的编号为4、2、1为事件，记下的编号为4、3为事件，互斥，；；；；．………12分答：停止取球时所有被记下的编号之和为的概率为．19.已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；不等式的证明．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．根据a1和a3的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log2（an﹣1）}的通项公式，进而求得an．（2）把（1）中求得的an代入++…+中，进而根据等比数列的求和公式求得++…+=1﹣原式得证．【解答】（I）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即an=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题．20.(本小题满分12分)已知数列，其前项和为，点在抛物线上；各项都为正数的等比数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．参考答案：（1）当时，

数列是首项为2，公差为3的等差数列，又各项都为正数的等比数列满足

解得，

……5分(2)由题得

①

②①-②得

………………12分21.（本小题满分14分）如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．[来源:学优高考网gkstk]（1）求直线及抛物线的方程；[来源:gkstk.Com]（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，．问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）（法一）点在抛物线上，．

……2分设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由得，，由，得，则直线方程为．两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，有，解得或（舍去）．直线的方程为，抛物线的方程为．…………6分（法二）点在抛物线上，，抛物线的方程为．……2分设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，，的最小值为，由，解得．因此，直线的方程为，抛物线的方程为．…6分（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由

得，设点、的坐标分别为、，