广东省惠州市惠阳区沙田中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省惠州市惠阳区沙田中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．2.若x，y满足约束条件，则的最小值为（

）．A．0 B．2 C．4 D．13参考答案：C画出可行域，数形结合可得在处取得最优解，代入得最小值为4，故选C3.在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，10]要求这两个数的平方和也在区间[0，10]内，即要求0≤x2+y2≤10，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为；故选D．【点评】此题考查等可能时间概率的问题，利用几何概型的方法解决本题，概率知识在高考中难度有所下降，对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握．4.已知点P在直线上，点Q在直线上，线段PQ的中点，且，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D试题分析：在平面直角坐标系中画出直线与,结合图像可以看出的几何意义是动点是射线上点与坐标原点的连线的斜率,因此其范围是,故应选答案D.考点：线性规划的区域及运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的运用问题,解答时先准确的画出直线与全,再搞清与的几何意义,将问题转化为求射线上动点与坐标原点的连线段的斜率的取值范围问题.求解时借助动点的运动规律,从轴的负半轴上起,将向左和向右转动,借助图象不难看出当的斜率时符合题设；当的斜率时也符合题设条件,故所求的范围是.5.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A． B． C． D．1参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得的值．【解答】解：由题意可得，cosα=，则=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：A．7.过圆：的圆心P的直线与抛物线C：相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由题，设，不妨设点A位于第一象限，则由可得解方程可得，则故点到圆上任意一点的距离的最大值为.

8.为各项都是正数的等比数列，为前项和，且,，那么（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：A略9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，棱锥和棱柱的底面面积均为：S==，高均为h=3，故组合体的体积V=Sh+Sh=4，故选：A10.已知，且7，则（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列满足：，给出下述命题：①若数列满足：，则成立；②存在常数，使得成立；③若，则；④存在常数，使得都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)参考答案：①④考点：数列综合应用对①；因为，所以由已知，

所以，即，正确

对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错。

对③，因为，，所以假设，则应有，即原数列应为递增数列，错

对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，

应有，显然成立，正确

所以正确命题的序号为①④所以正确命题的序号为①④12.在数列{an}中，，则的值为______．参考答案：1【分析】由，可得，利用“累加法”可得结果.【详解】因为所以，,,各式相加，可得，，所以，，故答案为1.【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.13.已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

参考答案：略14.=．参考答案：π+2【考点】67：定积分．【分析】由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得，再求得，作和得答案．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），则圆x2+y2=4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，，又，∴=π+2．故答案为：π+2．15.（+2x）dx=

．参考答案：1+ln2考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：找出被积函数的原函数，然后代入上下限计算．解答： 解：（+2x）dx==1+ln2；故答案为：1+ln2．点评：本题考查了定积分的运算，熟练找出被积函数的原函数是求定积分的关键．16.函数f（x）=，若方程f（x）=kx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．参考答案：（，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣），作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣），过点（1，0）和（0，﹣）的直线的斜率k=，此时函数f（x）与g（x）只有3个交点，过点（0，﹣）的直线与f（x）相切时，函数f（x）与g（x）只有3个交点，设切点为（a，lna），则函数的导数f′（x）=，即切线斜率k=，则切线方程为y﹣lna=（x﹣a）=x﹣1，即y=x+lna﹣1，∵y=kx+，∴lna﹣1=﹣，得lna=，a=，此时k==，故要使程f（x）=kx﹣恰有四个不相等的实数根，则＜k＜，故答案为：（，）17.设为正数,且

则的最大值是___________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知轴对称平面五边形ADCEF（如图1），BC为对称轴，ADCD，AD=AB=1，CD=BC=，将此图形沿BC折叠成直二面角，连接AF、DE得到几何体（如图2）

(1)证明：AF//平面DEC；

（2）求二面角E—AD—B的正切值。参考答案：解：（Ⅰ）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得，，

∴，∴，∴AF∥DE，又∥…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得四点共面，，设平面，，则，不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为，∴，∴二面角E-AD-B的正切值为.…………12分19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1，，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF=1.（1）求证：平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为，试求的取值范围.参考答案：20.已知椭圆C：过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点B为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，过点B的直线1与椭圆C交于D，E两点，求△DEF面积的最大值，以及此时直线l的方程．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）△DEF面积的最大值，直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆所过定点，待定系数法列方程组能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）联立方程得出B点坐标，根据直线过定点设出过B点的直线，与椭圆联立，利用韦达定理、弦长公式、不等式性质，结合已知条件能求出△DEF面积的最大值S，并能求出相应的直线方程．【详解】（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．∴，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的标准方程为＝1．（Ⅱ）点B为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，联立，得B（﹣2，0），设D（x1，y1），E（x2，y2），由题意设直线l的方程为x＝my﹣2，代入椭圆方程得（m2+2）y2﹣4my+2＝0，则△＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，∴m2＞2，，y1y2＝，∴S△DEF＝S△BEF﹣S△BDF＝|BF||y1﹣y2|＝＝≤，当且仅当＝，即m2＝6（满足△＞0）时取得等号，∴△DEF面积的最大值S＝，此时直线1的方程为x＝，即y＝（x+2）．【点睛】本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．21.已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：（其中f′（x）是f（x）的导函数）．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）通过求导得到函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m≤2lnx﹣x2，利用导数求出g（x）=2lnx﹣x2在上的最大值得答案；（2）由f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，把两根代入方程后作差得到，求得，然后令换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于0得答案．【解答】（1）解：由，得切线的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max．令g（x）=2lnx﹣x2，则，∵x∈，故g′（x）=0时，x=1．当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=﹣1，∴m≤﹣1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则，两式相减得，