广东省惠州市三栋中学2022年高三数学理联考试题含解析

广东省惠州市三栋中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（）A． B．2 C． D．参考答案：C【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值．【解答】解：解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则由于|BC|=3|BF|=3|BN|，则直线l的斜率为2，∵|AF|=4，∴AM=4，故|AC|=3|AM|=12，从而|CF|=8，|CB|=6．故，即p=，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．2.的展开式中的系数为

（

）

A．-56

B．56

C．-336

D．336参考答案：A略3.三个数a=（）﹣1，b=2，c=log3的大小顺序为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，1=20＜b=2＜2，c=log3，c=log3＜=0，∴c＜b＜a．故选：C．4.函数的递减区间为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（

）A．5米/秒

B．米/秒

C．7米/秒

D．米/秒参考答案：A6.在等比数列中，已知，则（

）A．16

B．16或－16

C．32

D．32或－32

参考答案：A7.函数的图象大致是(

)

参考答案：C略8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表：则这四位同学的试验结果能体现出、两变量有更强的线性相关性的是（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁参考答案：9.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（

）A．当时，，

B.当时，，C.当时，，

D.当时，，参考答案：B略10.若不等式,,对于一切正数、恒成立，则实数的最小值为________.

参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数z满足z(1+i)=1-i(I是虚数单位)，则其共轭复数=__________________.参考答案：i解析：设z＝a＋bi，则（a＋bi）(1+i)=1-i，即a－b＋（a＋b）i＝1－i，由，解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，＝i12.若曲线的极坐标方程为极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为

．参考答案：13.知幂函数的定义域为，且单调递减，则__________.参考答案：1略14.已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为

．参考答案：1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15.已知：通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题

；参考答案：16.已知向量=(2，1)，=(1，－1)，若－与m+垂直，则m的值为．参考答案：

【考点】平面向量的坐标运算．【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量若与，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值【解答】解：∵向量，∴=（1，2），=（2m+1，m﹣1），∵与垂直∴（）（）=0，即2m+1+2（m﹣1）=0，解得m=，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．17.已知正项等比数列若存在两项、使得，则的最小值为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，得到情况如下表：

男公务员女公务员生二胎4020不生二胎2020（1）是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望．附：K2=P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）计算K2＜3.841，可得结论．（2）男公务员生二胎的概率为=，X～B（3，），由此求得X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）由于K2===＜3.841，故没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．（2）题意可得，男公务员生二胎的概率为=，X～B（3，），X的分布列为X0123PE（X）=3?=2．【点评】本题主要考查独立性的检验，离散型随机变量的分布列，属于基础题．19.（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形中，，分别为和的中点，且，，为中点，现将梯形沿所在直线折起，使平面平面，如图（2）所示，是线段上一动点，且.（Ⅰ）当时，求证：平面；（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，连接.由题意，，……2分且，，………4分又，则，即，可知且平面，则平面.

……………………6分（Ⅱ）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.由题意，，，，，，平面的法向量为平面的法向量，即，………………8分在平面中，，，即，……………………10分则，又由图可知二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小的余弦值为.………………12分20.如图所示，曲线C由部分椭圆C1：和部分抛物线C1：连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1所在椭圆的离心率为.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线与C1，C2分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若，求直线的方程.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）在抛物线方程中，令，求出，坐标，再由离心率的公式和之间的关系，求出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆、抛物线方程中，求出，两点坐标，由向量垂直条件，可得等式，求出的值，进而求出直线的方程.【详解】（Ⅰ）因为，所以，即，因此，代入椭圆方程中，得，由以及，可得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程为：，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆得：，故可得点的坐标为：，显然，同理将代入抛物线方程中，得，故可求得的坐标为：，，，解得，符合，故直线的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆方程的性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了数学运算能力.21.（本小题满分13分）为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且（Ⅰ）求文娱队的人数；

（Ⅱ）求的分布列并计算．参考答案：解：设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有人，那么只会一项的人数是人.（1），即，…（3分）

（2），……………（8分）012P的分布列为

（10分）

……（13分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设数列，，，已知，，，，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．参考答案：（1）因为，，所以（），

…（１分）所以，，，…………………（2分）即数列是首项为，公比为的等比数列，

…………（3分）所以．

………（4分）（2）解法一：，

……（1分）因为，所以，，猜测：（）．

……………………（2分）用数学归纳法证明：①当时，，结论成立；

………（3分）②假设当（）时结论成立，即，那么当时，，即时结论也成立．…（5分）由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值．…………（6分）解法二：，

……（1分）所以，………………（4分）而，所以由上