广东省广州市华侨中学高二数学理联考试题含解析

广东省广州市华侨中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在点处的导数是

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.某单位为了了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x(℃)181310－1用电量y(千瓦时)24343864由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为(

).A．58千瓦时

B．66千瓦时

C．68千瓦时

D．70千瓦时参考答案：C3.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【专题】常规题型．【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选C．【点评】本题考查互斥事件和对立事件，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．4.在△ABC中,tanA是以为第3项,4为第7项的等差数列的公差;tanB是以为第3项,9为第6项的等比数列的公比,则该三角形为（

）A．等腰三角形

B．锐角三角形C．直角三角形

D．钝角三角形参考答案：B略5.已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（）A． B． C．5 D．13参考答案：B【考点】平行向量与共线向量；向量的模；平面向量的坐标运算．【分析】根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模．【解答】解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则2×6﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4．所以，则=（﹣2，3）．所以=．故选B．6.设命题则为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C7.设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)为奇函数，则φ＝（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知函数，若是图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（

）A.图象的一个对称中心 B.在上是减函数C.的图象过点 D.的最大值是A参考答案：A【分析】利用正弦函数对称轴位置特征，可得值，从而求出解析式，利用的图像与性质逐一判断即可。【详解】∵是图象的一条对称轴的方程，∴，又，∴，∴.图象的对称中心为，故A正确；由于的正负未知，所以不能判断的单调性和最值，故B，D错误；，故C错误.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质。9.若-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（

）A．b=3,ac=9

B．b=-3,ac=9

C．b=3,ac=-9

D．b=-3,ac=-9参考答案：B10.在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则（

）A、189

B、84

C、72

D、33参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的渐近线方程是

．参考答案：

12.已知的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则的展开式中的常数项为___.参考答案：-112【分析】由二项式系数的最大项是第3项和第4项，求得，得到，再由二项展开式的通项，即可求解．【详解】由题意，二项式的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，所以二项展开式共有6项，所以，则，又由二项式的展开式的通项为，令或，解得或，则展开式的常数项为．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式系数的最大项，以及二项展开式的通项，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13.过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是

．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案为：．14.设,则代数式=_________参考答案：【分析】由二项展开式，两边求导得，令，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，两边求导可得：，令，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式定理的性质及其应用，以及导数的应用，其中解答中对二项展开式两边求导，再，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15.一组数据的平均数是3，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的平均数是

▲

.参考答案：6略16.对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1=0，s、t是互不相等的正整数，则有（s﹣1）at﹣（t﹣1）as=O”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“

”．参考答案：若{bn}是等比数列，b1=1，s、t是互不相等的正整数，则有【考点】类比推理．【分析】仔细分析题干中给出的不等式的结论“若{an}是等差数列，且a1=0，s、t是互不相等的正整数，则（s﹣1）at﹣（t﹣1）as=0”的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：成立．【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的（s﹣1）at可以类比等比数列中的ats﹣1，等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”．等差数列中的“a1=0”可以类比等比数列中的“b1=1”．故故答案为：若{bn}是等比数列，b1=1，s、t是互不相等的正整数，则有．17.设复数（为虚数单位），则的虚部是

．参考答案：-1

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．参考答案：【分析】（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO因为，所以EO∥SA因为SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，∴，即二面角E﹣AC﹣D的正切值为解法二：（1）同方法一（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）∴平面ACD的法向为设平面EAC的法向量为=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，﹣2，1）．所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值为19.设,函数，若的解集为，求实数的取值范围（10分）参考答案：（1）当时满足条件；---------------------------------------------2分（2）当时，解得；------------=----------------------3分（3）当时，对称轴，，解得，------------3分综上--------------------------------------------------------------2分20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），经过点P（，），离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过点Q（0，）的直线与椭圆交于A、B两点，与直线y=2交于点M（直线AB不经过P点），记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3，问：是否存在常数λ，使得+=？若存在，求出λ的值：若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件设椭圆C的方程为，再由椭圆经过点P（，），能求出椭圆C的标准方程．（2）当直线AB斜率不存在时，有，λ=2；当直线AB斜率k存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：，则，联立，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，利用韦达定理结合题设条件能推导出，故存在常数λ=2符合题意．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率e=，∴，，∴a2=4b2，∴椭圆方程为，∵椭圆经过点P（，），∴，解得b2=1，∴椭圆C的标准方程．…（2）当直线AB斜率不存在时，，有，∴λ=2，…当直线AB斜率k存在时，由已知有k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：，则，…联立，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，∴…∴=，…∵…∴，∴λ=2，故存在常数λ=2符合题意．…21.等比数列的首项，前n项和为，且且数列各项均为正数.

(1)求的通项；(2)求的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）由

得

Ks5u即可得因为，所以

解得，因而