广东省佛山市顺德第一高级中学2023年高一数学理期末试卷含解析

广东省佛山市顺德第一高级中学2023年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A． y=﹣|x|（x∈R） B． y=﹣x3﹣x（x∈R） C． D． 参考答案：B考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题： 证明题．分析： 依据函数的奇函数性质与函数是减函数的性质对四个选项中的函数进行判断，找出符合条件的选项解答： A选项不正确，因为y=﹣|x|（x∈R）是一个偶函数，且在定义域内不是减函数；B选项正确，y=﹣x3﹣x（x∈R）是一个奇函数也是一个减函数；C选项不正确，是一个减函数，但不是一个奇函数；D选项不正确，是一个奇函数，但在定义域上不是减函数．综上，B选项正确故选B点评： 本题考查函数奇偶性的判断与函数单调性的判断，解题的关键是对四个选项中所涉及的四个函数的性质比较熟悉，方能快速判断出正确结果，对一些基本函数的性质的记忆是快速解答此类题的关键．2.已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A略3.设lg2=a，lg3=b，则log125=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】换底公式的应用．【分析】利用对数的换底公式、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，则log125==．故选：A．4.数列{an}中，an=（﹣1）nn，则a1+a2+…+a10=（） A．10 B． ﹣10 C． 5 D． ﹣5参考答案：C略5.函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是

()参考答案：D6.函数=的定义域为（

）A［1，+∞）

B（，1］

C（，+∞）

D

[，1］参考答案：B7.若x，y满足，则的最小值为（

）A.－1 B.－2 C.2 D.1参考答案：B【分析】画出满足约束条件的平面区域，结合平面区域，通过平移直线，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数，可化为，结合图形，可得直线经过点A时，在轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由，所以目标函数的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．8.已知向量，,且，则

（

）A．5

B．

C．7

D．8参考答案：B略9.函数的定义域为

（

）

A．

B．

C．

D．或参考答案：C略10.设数列{an}满足，且，若[x]表不不超过x的最大整数，则（

）A．2015

B．2016

C．2017

D．2018参考答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=loga（x﹣2）的图象经过一个定点，该定点的坐标为

．参考答案：（3，0）【考点】函数恒成立问题．【分析】根据loga1=0恒成立，可得函数y=loga（x﹣2）的图象经过的定点坐标．【解答】解：∵loga1=0恒成立，∴当x=3时，y=loga（x﹣2）=0恒成立，故函数y=loga（x﹣2）的图象恒过（3，0）点，故答案为：（3，0）12.已知，若函数的最小正周期是2,则

．参考答案：－1略13.已知，，且，则的最大值是_______．参考答案：【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，从而可得出的最小值，由此可得出的最大值.【详解】，，且，，当且仅当，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，所以，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.14.已知，则f（x）的值域为．参考答案：[，]【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】化简函数f（x），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数f（x）的值域即可．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cosx=1﹣cos2x+cosx=﹣+，且x∈[﹣，]，∴cosx∈[﹣，]，∴﹣1≤cosx﹣≤0，∴﹣1≤﹣≤0，∴≤﹣≤，即函数f（x）的值域为[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目．15.圆上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围是_______.参考答案：因为圆（x-a）2+（y-a）2=8和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，可知结论为16.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为

。参考答案：17.对于两个图形F1，F2，我们将图象F1上任意一点与图形F2上的任意一点间的距离中的最小值，叫作图形F1与F2图形的距离，若两个函数图象的距离小于1，则这两个函数互为“可及函数”，给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是．（写出所有正确命题的编号）①f（x）=cosx，g（x）=2；②f（x）=ex．g（x）=x；③f（x）=log2（x2﹣2x+5），g（x）=sin﹣x；④f（x）=x+，g（x）=lnx+2．参考答案：②④【考点】函数的图象．【分析】利用“可及函数”的定义，求出两个函数图象的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：①f（x）=cosx的最低点与g（x）=2的距离等于1，故不满足题意；②f（x）=ex，则f′（x）=ex，设切点为（a，ea），则ea=1，∴a=0，∴切点为（（0，1），切线方程为y=x+1，则与g（x）=x的距离为＜1，满足题意；③f（x）=log2（x2﹣2x+5）≥2，g（x）=sinx﹣＜0，∴两个函数图象的距离大于等于1，不满足题意；④x=时，f（x）=x+=2，g（x）=lnx+2=ln+2，两个函数图象的距离小于1，满足题意；故答案为：②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.国家为了鼓励节约用水，实行阶梯用水收费制度，价格参照表如表：用水量（吨）单价（元/吨）注0～20（含）2.5

20～35（含）3超过20吨不超过35吨的部分按3元/吨收费35以上4超过35吨的部分按4元/吨收费（Ⅰ）若小明家10月份用水量为30吨，则应缴多少水费？（Ⅱ）若小明家10月份缴水费99元，则小明家10月份用水多少吨？（Ⅲ）写出水费y与用水量x之间的函数关系式，并画出函数的图象．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）小明家10月份用水量为30吨，在第二档，可得结论；（Ⅱ）第一档最多为50元，二档最多为50+（35﹣20）×3元=95元，可得用水量在第三档内，即可得出结论；（Ⅲ）利用所给条件，即可写出水费y与用水量x之间的函数关系式，并画出函数的图象．【解答】解：（Ⅰ）20×2.5+（30﹣20）×3=80

…（Ⅱ）第一档最多为50元第二档最多为50+（35﹣20）×3元=95元∴用水量在第三档内，99﹣95=4，4÷4=1∴用水量为35+1=36吨．…（Ⅲ）0＜x≤20时，f（x）=2.5x；20＜x≤35时，f（x）=20×2.5+（x﹣20）×3=3x﹣10；x＞35时，f（x）=20×2.5+（35﹣20）×3+（x﹣35）×4=4x﹣45；∴f（x）=．函数的图象如图所示．19.已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由，，，从而求出b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，得函数在（﹣1，+∞）单调递增．从而有f（x1）﹣f（x2）=，进而，故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，=，∵﹣1＜x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．20.一个容量为M的样本数据，其频率分布表如下。（1）求a,b的值，并画出频率分布直方图；（答案写在答题卡上）（2）用频率分布直方图，求出总体的众数、中位数及平均数的估计值。

分组频数频率频率/组距(10,20]20.100.010(20,30]30.150.015(30,40]40.200.020(40,50]ab0.025(50,60]40.200.020(60,70]20.100.010

参考答案：略21.已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，再由正弦函数的和差化积公式计算得答案；（Ⅱ）由sinα，cosα的值求出tanα的值，然后代入正切函数的二倍角公式计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=，α∈（，π），∴．∴sin（α﹣）==；（Ⅱ）∵，∴tan2α=．22.设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知(1)求证：数列{an}是等差数列，并求其通项公式(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且，若对任意都成立，求实数的取值范围。参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）首先求出，利用与作差，化简即可得到为常数，进而可证明数列为等差数列，其首项为2，公差2，利用等差数列通项公式求出；（2）结合（1）可得，利用裂项相消，即可求出数列的前项和为，