广东省佛山市国华纪念中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省佛山市国华纪念中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（） A．A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3} B．A∪B=R C．B?A D．A?B参考答案：A【考点】交集及其运算；并集及其运算． 【专题】集合． 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集、并集，判断出A与B的包含关系即可． 【解答】解：由A中不等式变形得：x（x+3）＞0， 解得：x＜﹣3或x＞0，即A={x|x＞0或x＜﹣3}， ∵B={x|﹣4＜x＜﹣1}， ∴A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}，A∪B={x|x＞0或x＜﹣1}． 故选：A． 【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2.

如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A?PB?C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。3.已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点(

)x12345y1.21.82.53.23.8A．（0，0） B．（2，1.8） C．（3，2.5） D．（4，3.2）参考答案：C【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上，得到线性回归方程一定过的点．【解答】解：∵==3，==2.5∴这组数据的样本中心点是（3，2.5）根据线性回归方程一定过样本中心点得到线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（3，2.5）故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．4.若集合A={x|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．[0，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别根据根式的被开放式非负，对数的真数大于0，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A={x|y=}={x|x≥0}B={x|y=ln（x+1）}={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．故选：A．5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15参考答案：C【考点】程序框图．

【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6.要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（）A．5个

B．10个C．20个

D．45个参考答案：A7.下列命题中，错误的是A．在中，是的充要条件；B．在锐角中，不等式恒成立；C．在中，若，则必是等腰直角三角形；D．在中，若，，则必是等边三角形．参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2C

解析：对于A．在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，反之也成立，故A正确；对于B．在锐角△ABC中，A+B＞，则A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上递增，则sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正确；对于C．在中，，则,即,所以即或,所以是等腰或直角三角形,故C错误;对于D．在中，若，，所以,联立解得:,,所以必是等边三角形．【思路点拨】对选项依此判断即可.8.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.若关于的方程有一个正根和一个负根，则的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B10..对于函数和区间，如果存在，使得，则称是函数与在区间上的“互相接近点”。现给出四组函数：①；

②；③；

④。则在区间上存在唯一“相互接近点”的是

A.①②

B.③④

C.②④

D.①③参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为．参考答案：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=代入导函数即可求出a的值，然后由曲线的方程求出曲线的导函数，把x=1代入导函数即可求出切线的斜率，把x=1代入曲线方程中即可求出切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可．【解答】解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3﹣2sin2x+2cos2x，且由y=x3，得到y′=3x2，则a==3﹣2sin+2cos=1，把x=1代入y′=3x2中，解得切线斜率k=3，且把x=1代入y=x3中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m2，则3m2=，n=m3，解得m=﹣，则切线方程为：3x﹣4y+1=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．12.把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形，若矩形的一组邻边长分别为，则该圆柱体的体积是

．参考答案：13.已知函数的图像关于直线对称，且为函数的一个零点，则的最小值为

．参考答案：214.一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为

．参考答案：略15.已知实数x，y满足条件则的取值范围是________．参考答案：[1,4)

16.若，则常数T的值为________．参考答案：【知识点】定积分.B13答案3

解析：因为，解得，故答案为3.【思路点拨】先由题意得到,再解出T的值即可。17.设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是______参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数为偶函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程有且只有一个根,求实数的取值范围.参考答案：（1）因为为偶函数，所以

(2）依题意知：

(1)令

则(1)变为

只需其有一正根。(1）

不合题意(2）(1)式有一正一负根

经验证满足

(3）两相等

经验证

综上所述或

19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前n项和.参考答案：（1）.（2）.（1）解：，∴

………1分∴.

∴

……………3分

∴

………………1分是公比为2首项为1的等比数列.

………8分（2）解：∵，

∴.

①

………9分.②

……………10分①②得

……………11分

……………12分.

……………13分

∴.

……………14分

20.已知函数.（1）若的解集为，求实数的值;（2）当且时，解关于的不等式.

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）当t=0时，原不等式的解集为R，

当t＞0时，原不等式的解集为．（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，所以解之得为所求．

（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|， 所以当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式或或解得x＜2﹣2t或或x∈?，即；综上，当t=0时，原不等式的解集为R，

当t＞0时，原不等式的解集为．

略21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，．（1）当变化时，证明点的轨迹为抛物线。并求此抛物线方程．（2）如图，在（1）的抛物线中，过点的两直线与抛物线相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，．求证直线恒过某定点．参考答案：（1）由，得点是线段的中点，又由，所以，因为，即为点到直线的距离，则点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，所求点的轨迹的方程。---------------------------------4分。(2)设，设过焦点的直线方程为，代入抛物线，得，则，所以由，则。设直线方程为，代入抛物线，得，得，则，所以直线恒过定点。------10分。22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）

（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与