广东省佛山市南庄高级中学 2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

广东省佛山市南庄高级中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，已知，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3

【答案解析】D解析：∵=，∴sinA=；∴cosA=±∴==4×1×（±）=±2，故选：D．【思路点拨】先根据三角形的面积公式可求得A的正弦值，从而可求得余弦值，根据向量的数量积运算可得到的值．2.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）A． B．C．3 D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．则最长棱为PC==3．故选：C．3.在△ABC中，，且△ABC的面积为，则BC的长为A．

B．3

C．

D．7参考答案：A略4.顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在y轴上的角α的集合是(

)A．

B．C.

D．参考答案：C5.如图所示为某几何体的三视图，均是直角边长为1的等腰直角三角形，则此几何体的表面积是

（

）

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

参考答案：C略6.已知命题：，则（

）A．

B．C． D．参考答案：C略7.函数有零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C．试题分析：问题“函数有零点”可转化为“方程有根”，还可转化为“函数与的图像有交点”，即“的取值范围即为函数的值域”．令，则，两边平方可得，，所以，解之得，而，所以，即的取值范围为．故应选C．考点：函数与方程；判别式求解函数的值域．8.将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则函数的单调增区间为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A9.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为(

) A． B． C．4π D．8π参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据三视图可得圆锥与圆柱的底面直径都为4，高都为2，把数据代入圆锥与圆柱的体积公式计算可得答案．解答： 解：由三视图知：几何体为圆柱挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，∴几何体的体积V1=π×22×2﹣×π×22×2=，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.设集合，，若，则（

）A．1

B．2

C．3

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知都是正实数，函数的图像过点，则的最小值是_______参考答案：略12.对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是周期函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为

（把正确答案的序号填在横线上）．参考答案：13.已知向量=（m，1）与向量=（4，m）共线且方向相同，则m的值为

．参考答案：2【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：向量=（m，1）与向量=（4，m）共线，∴m2﹣4=0，解得m=±2．经过验证m=﹣2时方向相反．因此m=2．故答案为：2．14.在等比数列中，若，，则公比__________，当__________时，的前项积最大．参考答案：，在等比数列中，，，设前项积为．，，∵此等比数列各项均为负数，当为偶数时，为正，故当取最大值时为偶数．设当时，取得最大值，，∵，∴，∴，整理后：，又∵，∴，解出，∵，∴，故取时，取得最大值．15.已知在中，角的对边分别是，其满足，点在边上且，则的取值范围是

．参考答案：（2，+∞）16.某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．参考答案：200【考点】分层抽样方法．【分析】根据学校的总人数和要抽取的样本容量，做出每个个体被抽到的概率，根据学生要抽取150人，做出教师要抽取的人数是10，除以概率得到教师的人数．【解答】解：∵学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴=，∴学校的教师人数为10×20=200．故答案是：200．17.设是函数的两个极值点，若，则实数a的

取值范围是＿＿＿＿＿参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于A,,．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若参考答案：考点：圆锥曲线综合抛物线试题解析：（1）设直线AB的方程为，由得：

所以。（2）由p=4得因为C在抛物线上，所以（-2，则。19.已知函数．（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；（II）设F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）由函数，知f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用导数性质能求出当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）由F（x）是单调递增函数，知f′（x）＞0恒成立，所以（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分类讨论思想能求出a的取值范围．解答： 解：（I）∵函数，∴f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，又∵f′（x）=，∴，解得t=3．∴=，∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0．∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，∴f（x）在[3，7]上的最大值在应在端点处取得．∵f（3）﹣f（7）=（3ln5﹣ln1）﹣（3ln9﹣ln5）=（ln625﹣ln729）＜0，∴f（3）＜（7），故当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）∵F（x）是单调递增函数，∴f′（x）＞0恒成立．又∵=，在f（x）的定义域（2，+∞）上，（x﹣1）（x2﹣4）＞0恒成立，∴（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．下面分类讨论（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况：当a﹣1＜0时，不可能有（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；当a﹣1=0时，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）=5x﹣5＞0在（2，+∞）恒成立；当a﹣1＞0时，又有两种情况：①52+16（a﹣1）（a+1）＜0；②，且（a﹣1）x2+5×2﹣4（a+1）＞0．由①得16a2+9＜0，无解；由②得a＞﹣，∵a﹣1＞0，∴a＞1．综上所述，当a≥1时，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．∴a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查函数的最大值的求法及应用，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．20.如图1,在直角梯形中,,,,点为中点．将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示．

（1）在上找一点,使平面;

（2）求点到平面的距离．参考答案：（1）的中点;（2）．试题分析：（1）取的中点，连接．利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;（2）利用等体积转化，，为等腰直角三角形，,面,可证,得到,为直角三角形，这样借助等体积转化求出点C到平面的距离．试题解析：（1）取的中点,连结,

----2分在中,,分别为,的中点

为的中位线

平面平面

平面

6分（2）

设点到平面ABD的距离为平面平面且平面

而平面，即三棱锥的高,

即

------12分21.已知关于x的不等式（其中a＞0）．（1）当a=3时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=3时，|x﹣1|﹣|2x﹣1|＞﹣1