广东省云浮市云硫第一高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析

广东省云浮市云硫第一高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）A．

B．

C．

D．随点的变化而变化。参考答案：B2.设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）≠0，当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）=0，则不等式＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）参考答案：D【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由条件利用导数求得当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数，的图象关于原点对称．再结合f（﹣3）=﹣f（3）=0，求得不等式的解集．【解答】解：∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴[]′=＞0，∴当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数．∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴为奇函数，的图象关于原点对称，函数的单调性的示意图，如图所示：∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0，∴由不等式＜0，可得x＜﹣3或0＜x＜3，故原不等式的解集为{x|x＜﹣3或0＜x＜3}，故选：D．3.已知正数、满足，则的最小值为 A．1 B． C． D．参考答案：C略4.在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.双曲线的实轴长是（A）2

(B)

(C)4

(D)4参考答案：C6.若存在两个正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则正实数a的最小值为（

）A．1

B．

C．2

D．参考答案：D，设，则，令，当时，当时，最小值为当时，本题选择D选项.

7.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B8.已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为（） A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：∵sinC=2sinA， ∴由正弦定理可得c=2a， 又cosB=，b=2， 由余弦定理可得22=a2+（2a）2﹣2a2a×， 解得a=1，∴c=2， 又cosB=，∴sinB==， ∴△ABC的面积S=acsinB=×= 故选：B 【点评】本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题． 9.给出下列四个结论：

（1）

（2）若“”的逆命题为真

（3）函数有3个零点

（4）若

则正确结论序号是(

)

A（2）（3）B.（1）（4）C.（1）（3）（4）D.（1）（3）参考答案：B10.已知＞0，＞0，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（

）A.

0，

B.1，

C.2.

D.4

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列四数、

、

、中最小的数是________参考答案：12.曲线

(t为参数)的直角坐标方程是_______.参考答案：13.已知向量与向量的夹角为120°，若且，则在上的投影为．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求．【解答】解：因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求，因为，故，所以在上的投影为．故答案为：．【点评】本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．14.=

＝

。参考答案：略15.已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．参考答案：150°或16.函数y=x3﹣x2﹣x的单调递减区间为．参考答案：（，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，通过解导函数小于0，从而求出函数的递减区间．【解答】解：y′=3x2﹣2x﹣1，令y′＜0，解得：﹣＜x＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．17.已知数列{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为．参考答案：﹣【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程，解方程可得所求值．【解答】解：由数列{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列2a3=a1+a2，∴2a1q2=a1q+a1，∴2q2=q+1，∴q=1或q=﹣，∵q≠1，∴q=﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）已知A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的方程。参考答案：略19.如图，在直角坐标系中，射线OA:x－y=0（x≥0），OB:x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.（1）当AB中点为P时，求直线AB的斜率（2）当AB中点为在直线上时，求直线AB的方程.参考答案：解：（1）因为分别为直线与射线及的交点，所以可设，又点是的中点，所以有即∴A、B两点的坐标为，∴，（2）①当直线的斜率不存在时，则的方程为，易知两点的坐标分别为所以的中点坐标为，显然不在直线上,即的斜率不存在时不满足条件.②当直线的斜率存在时，记为，易知且，则直线的方程为分别联立及可求得两点的坐标分别为所以的中点坐标为.又的中点在直线上,所以，解之得.所以直线的方程为，即.略20.过双曲线C：(a>0,b>0)的左焦点F1(－2，0)、右焦点F2(2，0)分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射线PF1于M，求点M的轨迹方程.参考答案：(1)由解得y=，由双曲线即其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形故四边形ABCD的面积为4×=所以b=，结合c=2且得：a=1，b=，所以双曲线C的标准方程为；(2)P是双曲线C上一动点，故，又M点在射线PF1上，且，故=所以点M的轨迹是在以F1为圆心，半径为2的圆，其轨迹方程为：.略21.（本小题满分13分）某兴趣小组有10名学生，其中高一高二年级各有3人，高三年级4人，从这10名学生中任选3人参加一项比赛，求：(Ⅰ)选出的3名学生中，高一、高二和高三年级学生各一人的概率；(Ⅱ)选出的3名学生中，高一年级学生数的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）设“选出的3名学生中，高一、高二和高三年级学生各一人”为事件A，则

…………………4分（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3．

………8分所以随机变量的分布列是0123

P…10分…13分22.已知向量，，且，其中、、是的内角，分别是角，，的对边．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值.参考答案：（Ⅰ）由得

（2分）由余弦定理

又，