广东省东莞市长安职业高级中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省东莞市长安职业高级中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若随机变量等可能取值且，那么：A.3

B.4

C.10

D.9参考答案：C2.执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为5，则判断框内填入的条件可以是A.？ B.？C.？ D.？参考答案：D对于选项A，由sin1>0，sin2>0，sin3>0，sin4<0，可知输出的n的值为4；对于选项B，由cos1>0，cos2<0可知，输出的n的值为2；对于选项C，由，，可知输出的n的值为3；对于选项D，由，可知输出的n的值为5，故选D.3.已知函数，x∈R，若≥1，则x的取值范围为（A） （B）（C） （D）参考答案：B略4.有以下四种变换方式： ①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．其中能将函数的图象变为函数的图象是（

） （A）①和④ （B）①和③ （C）②和④ （D）②和③参考答案：A略5.为了得到函数y_=sin2x昀图象，只需把函数的图象

(A)向左平移个单位长度

(B)向右平移个单位长度

(C)向左平移个单位长度

(D)向右平移个单位长度参考答案：C6.下列命题中正确的是

（

）A.命题“，使得”的否定是“，均有”；B.命题“若，则”的逆否命题是真命题；C.命题“若，则”的否命题是“若，则”；D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．参考答案：C略7.设x，y∈R，则“x≠1或y≠1”是“xy≠1”的（）A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若“x≠1或y≠1”，则“xy≠1，其逆否命题为：若xy=1，则x=1且y=1．即可判断出关系．【解答】解：若“x≠1或y≠1”，则“xy≠1，其逆否命题为：若xy=1，则x=1且y=1．由x=1且y=1?xy=1，反之不成立，例如取x=2，y=．∴xy=1是x=1且y=1的必要不充分条件．∴“x≠1或y≠1”是“xy≠1”的必要不充分条件．故选：B．8.某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1吨甲产品需要用电2千度、用煤2吨、劳动力6人，产值为6千元；每生产1吨乙产品需要用电2千度、用煤4吨、劳动力3人，产值为7千元．但该厂每天的用电不得超过70千度、用煤不得超过120吨、劳动力不得超过180人．若该厂每天生产的甲、乙两种产品的数量分别为x、y（单位：吨），则该厂每天创造的最大产值z（单位：千元）为

A．260

B．235

C．220

D．210参考答案：C9.已知圆O：x2+y2=1交x轴正半轴于点A，在圆O上随机取一点B，则使成立的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B法一：平方可得：结合三角函数图象，或三角函数线，得由对称性，可知此几何概率为角度比：法二：由向量减法得：由几何意义，点B在圆面：上，由图易知:点B在劣弧上运动,下同.【命题意图】本题考查了几何概率之角度比，通过两种不同的处理，囊括了数量积，向量减法，模的几何意义，三角函数类不等式.若此题的前提变为点B在单位圆上及其内部，又变成了一个面积比的几何概型.10.sin300°等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．

【专题】计算题．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选A【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则f(2013)=

.参考答案：0设，则所以，.12.已知等比数列的公比为正数，且，,则

．参考答案：∵，∴,因此由于解得∴13.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______参考答案：36π设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.14.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,f(2-x)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=()x-1.若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是________________.参考答案：略15.非零向量满足，则与的夹角大小为

参考答案：16.设函数是的导函数，若，则

.参考答案：17.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.参考答案：-16略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）若函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋m在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．参考答案：f′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，----------------------------------2分由f′(x)=0得，x=1或x=3，f(x)的值随x的变化情况如下表：x0(0,1)1(1,3)3(3,4)4f′(x)

－0＋0－

f(x)m递减m－4递增m递减m－4

-------------6分由已知f(x)的最小值为f(1)＝f(4)＝m－4＝2，∴m＝6

------------8分∴f(x)在[0,4]上的最大值为f(0)＝f(3)＝m＝6

-------------10分19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且是首项和公差均为的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）是首项和公差均为的等差数列，可得=，即Sn=．利用递推关系即可得出an．（2）==+=2+﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵是首项和公差均为的等差数列，∴==，∴Sn=．∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n．n=1时也成立．∴an=n．（2）==+=2+﹣，∴数列{bn}的前n项和Tn=2n+++…+=2n+﹣．20.（本题满分14分）中，，以的中线为折痕，将沿折起，构成二面角．在面内作，且．（I）求证：∥平面；（II）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值．参考答案：（1）由得，所以为等腰直角三角形，由为的中点得，以的中线为折痕翻折后仍有，因为，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）如果二面角的大小为，由得平面，因此，又，所以平面，从而．由题意，所以中，．设中点为，因为，所以，且，设中点为，则∥，由得，所以为二面角的平面角，连结，在中，因为，所以．在中，于是在中，．在中，，所以在中，．因此二面角的余弦值为．解法二：如果二面角的大小为，由得平面，又由（1）知，所以以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系．又，所以平面，又平面，所以平面平面．设中点为，连结，则，且，从而平面．由（1）可知，，所以，，，因此，即平面的法向量为，又，，设平面的法向量为，则，所以，所以可以取，设与的夹角为，由得，结合图形可知二面角的余弦值为．21.（本小题满分13分）

已知函数（1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若在区间上是减函数，且对任意的总有，求实数的取值范围。参考答案：22.在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设数列{an2﹣an}的前n项和为Sn，记bn=，求证：数列{bn}的前n项和Tn＜．参考答案：考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a2，a1+a3，a4成等差数列及a1=2，计算即得结论；（Ⅱ）通过Sn=（a12+a22+a32+…+an2）﹣（a1+a2+a32+…+an）可得bn的表达式，分离分母、并项相加即得结论．解答： （Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，由已知得：2（a1+a3）=a2+a4，即2（a1+a1q2）=a1q+a1q3，解得