空间向量与立体几何测试题与答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）A.一个圆B.一个点C.半圆D.平行四边形答案：A2.在长方体ABCD-ABCD中，下列关于AC的表达中错误的一个是（）1111A.AA+AB+AD11111AD+CC+DC111答案F*B.AB+DD+DC111-(AB+CD)+AC2iiii3.若a,b,c为任意向量，meR,)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)c=ac+bcm(a+b)=ma+mb(ab)c=a(bc)答案：DTOC\o"1-5"\h\z若三点AB,C共线，P为空间任意一点，且PA+aP2=pP。，则a-p的值为（）A.1B.-1C.1D.-22答案：B5.设a=(%,4,3),b=(3,2,z)，且a〃b，则％z等于()A.-4B.9C.-9D.史9答案：B.已知非零向量e,e不共线，如果AB=e,a,AC=2e+8e,AD=--3e,则四点12AB,C,D()A.一定共圆

B.恰是空间四边形的四个顶点心C.一定共面D.肯定不共面答案：C.如图1,空间四边形"CD的四条边及对A.2BAACB.2ADBD2FGCA2EFCB答案：声8.若”=e+e+e,b=e-e+ec=e+e

i'J/d=e+2e+3e

12贝U%,y,z的值分别为B.C.D.5,2,1答案：A9.若向量a=(1,兀2)与b=(2,-1,2)的夹角的余弦值为A.2BAACB.2ADBD2FGCA2EFCB答案：声8.若”=e+e+e,b=e-e+ec=e+e

i'J/d=e+2e+3e

12贝U%,y,z的值分别为B.C.D.5,2,1答案：A9.若向量a=(1,兀2)与b=(2,-1,2)的夹角的余弦值为89A.2—2—2或2552或—255答案：C10.已知ABCD为平行四边形，且A(4,13),B(2,—5,1)C(3,7,—5),则顶点D的坐标为(A.7A,4,—12)B.(2,4,1)C.(—2,141)D.(5,13,—3)答案：D11•在正方体ABCD—ABCD中，1111O为AC,BD的交点，则CO与AD所成角的(A.60B.90C.arccosD.arccos36答案：D12.给出下列命题：①已知a，b，则a(b+c)+c(b—a)=bc;

②AB,M,N为空间四点，若BARWIN不构成空间的一个基底，那么A,B,M,N共面;③已知则。，。与任何向量都不构成空间的一个基底；④若。，力共线，则。，5所在直线或者平行或者重合.正确的结论的个数为()>>>A.1B.2C.3D.4答案：C二、填空题13.已知a=(3J5),5=(12—3),向量c与z轴垂直，且满足C4=9,c5=—4,贝l」c=215215,0).已知A,B,。三点不共线，0为平面外一点，若由向量+入OC确53定的点尸与AB,。共面，那么入=.答案：-»15.已知线段面a,BCua,CD1BCf。产，面a于点尸，ZDCF=30,且D,A在平面a的同侧，若AB=5C=CD=2,贝I」4)的长为.答案：2d.在长方体ABC。-中，5c和CO与底面所成的角分别为60和45,则异面111111直线5C和C。所成角的余弦值为.11答案:如4三、解答题TOC\o"1-5"\h\z17.设“=2i-j+k,a=i+3j-2k,a=-2i+j-3k,a=3i+2j+5k,试问是否存在实1234数％N，v,使a=X«+|n«+v«成立？如果存在，求出尢四，v；如果不存在，请写出4123证明.答案：解：假设a=+\xa+v«成立.4123'：a=(2,-l,l),a=(13,-2),a=(-2,1,-3),a=(3,2,5),1234.*.(2X+|h-2v,-1+3|ll+v,X-2|n-3v)=(3,2,5).

’2'+|LI—2V=3,-X+3|Li+v=2,解得<入—2Q3V=5,I二

v=-3.所以存在入=-2,H=’2'+|LI—2V=3,-X+3|Li+v=2,解得<入—2Q3V=5,I二

v=-3.所以存在入=-2,H=L了=-3使得〃=-2a+a-3a.4123理由即为解答过程.18.如图2,正三棱柱ABC-ABC的底面边长为a,侧棱长为111所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系,(贝IJA(0,0,0),B(0,a,0),A(0,0,2a),C-3aa,22由于n=(-1,0,0)是面ABBA的法向量，11cosAC,n

1ACn1ACn13a23an=60•故人。与侧面AbbA所成出的角力30..如图3,直三棱柱ABC-ABC中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90,侧棱111AA=2,D,E分别是CC与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A到平面AED的距离.1解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a，则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A(2a,0,2),E(a,a,1),1从而GE从而GE=,BD=(Q-2a,1).J由GE±BDnGEBD=0，得a=1,则A(2,0,2),A(2,0,0),E(1,1,1).1自A作AH1面AED于M，并延长交xOy面于H，设H(x,y,0),11

贝IJAH=(%—2,y,-2).1又AD=(-2,0,1),AE=(-1,1,1).AHLAD,1nAHLAD,1nAHIAEi-2(x-2)-2=0,=「=1'得"(14,0).[y=1,一一.(那么EA=一一.(那么EA=1、,0,-，乙JED==AAcosAA,=AAcosAA,AH

iii.已知正方体Abcd-ABCD的^^^2,P,Q分^是BC，CD上的^点,且PpQ=2,1111TOC\o"1-5"\h\z确定P，Q的位置，使QB1PD.11解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP=t,得CQ=2-(2-1)2，DQ=2-2-(2-t)2.那么B(2,0,2),D(0,2,2),P(2,,0)Q(2-2-(2-t)2,2,0),11从而QB=(2-(2-1)2,-2,2),PD=(-2,2-t,2),11由QB1PDnQBPD=0,1111

从而cosEA,EDEAED6EAED3因此tanEAF,ED-故面SCO与面SA4所成二面角的正切值为2222.平行六面体ABCD—ABCD的底面ABCD是菱形，且从而cosEA,EDEAED6EAED3因此tanEAF,ED-故面SCO与面SA4所成二面角的正切值为2222.平行六面体ABCD—ABCD的底面ABCD是菱形，且ZCCB=ZCCD=ZBCD,试问:1111当CDCC1的值为多少时，AC1面CBD?请予以证明.解：欲使AC1面CBD，只须AC1CD,且AC1CB.

11欲证AC1CD，只须证CACD=0,即(CA+AA)(CD-CC)=0,八।K也就是(CD+CB+CC)(CD-CC)=0,即CD2—CC2+CBCDcosZBCD—CBCCcosZCCB=0.由于ZCCB=ZBCD,1显然，当CD=CC时，上式成立;1同理可得，当CD=CC时，AC1CB.

111因此，当CD

CC1=1时，AC1面CBD.一.选择题：（10小题共4。分）.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是A.OMA.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA—OB—OCC.OM=C.OM=OA+1OB+1OCD.OM=1OA+1OB+1OC.直三棱柱ABC—ABC中，若CA=a,CB=b,CC=C,则AB=11111A.a+bA.a+b-cB.a—b+cC.—a+b+cD.—a+b—cTOC\o"1-5"\h\z.若向量形垂直向量a^^b，向量n=九a+^b（九,日£R且九、四。0）则（）A.m//nB.m工nC.加不平行于n,m也不垂直于nD.以上三种情况都可能.以下四个命题中,正确的是（）A^OP=JOA+3OB，则P、A、B三点共线乙JB.设向量｛a，b，。｝是空间一个基底，则｛a+b,b+。，。+a｝构成空间的另一个基底C.（a•b）c=a•b•c□.△ABC是直角三角形的充要条件是AB•AC=0.对空间任意两个向量a,b（b丰o）,a〃b的充要条件是（）A.a=bb,a=-bC,b=Xad.a=九b.已知向量a=（0,2,1）,b=（-1,1,-2），则。与的夹角为（）A.0°B.45°C.90°D.180°.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若AB=a,AD=b,AA=c，11111则下列向量中与BM相等的是（）11111111111A.——a+—b+—cB—a+—b+—cC—a——b+cD.——a——b+c22222222228,已知a=（九+1,0,2X）,b=（6,2日-1,2）,若a//b,则九与目的值分别为（）A.5,2B.5,2C,-5,-2D.-5,-29•已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,贝心a与3阴勺数量积等于（）A.-15B.-5C.-3D.-11。,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1clD1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是

2B-52B-5C-310D.——10二-填空题:(4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3Mm点共线，则m+n=..已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),若Ia1=3,且a±AB,a1AC,则向量a的坐标为-.已知a,b是空间二向量，若IaI=3,IbI=2,Ia-bI=7,则必与b的夹角为..已知点G是4ABC的重心，O是空间任一点，若OA+OB+OC=九OG,贝叽的值为-三-解答题:(10+8+12+14=44分).如图：ABCD为矩形，PA，平面ABCD,PA=AD,M、N分别是PC、AB中点，(1)求证：MN，平面PCD;(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小-16-一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小-.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2,P为SA的中点，如图-<5<5⑴求二面角B—SC—D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小..如图，直三棱柱ABC—A]B]C],底面4ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°，棱AA02,M、N分别是A]BjA£的中点；⑴求8N的长；(2)求cos<BA,CB>的值；⑶求证：AB±CM.⑷求CB,与平面AABB,所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)一空间向量⑴参考答案DDBBDCDAAB11.013.6Oo14.315.⑴略(2)45o16.45o17.(1)18.(1)3301018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz.(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1);\BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3(2)依题意得A1(1,0,2)、B2)…BA={—1,—1,2},CB={01,2,},BA1|CB|=5「.cos<BA

11CB1BA-CB>=111IBAI-ICBI10•CB1(0,1,0)、C(0,(3)证明：依题意，得C1(0,0,11

2)、M(,,2),乙乙AB={-1,1,2},1CM={111{2,2,0}.「.AB•CM一12+0=0,•AB1CM,,•A1B1C1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.即-22-(2-1)2-2(2-t)+4=0nt=1.故P,Q分别为BC,CD的中点时，QB1