新课标-回归教材函 数

新课标一一回归教材

函数函数f:A一b的概念.理解注意(1)：A、B都是非空数集；(2)任意性:集合A中的任意一个元素x;(3)唯一性:在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应;(3)定不定:集合A一定是函数的定义域，集合B不一定是函数的值域，函数值域一定是集合B的子集.TOC\o"1-5"\h\z典例：(1)函数图像与直线x=m(meR)至多有一个公共点，但与直线y=n(neR)的公共点可能没有，也可能有任意个. _已知a=((x,y)Iy=f(x),xeF),B=((x,y)Ix=1)，则集合AAB中元素有 _个；若函数y=1x2-2x+4的定义域、值域都是闭区间［22b］,则b=_2.2 ，同一函数.函数三要素是:定义域，值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数.典例:若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“挛生函数”，那么解析式为y=x2,值域为{4,1)的“孪生函数”共有9个.映射f:A-B的概念.理解注意：映射是函数概念的推广,表现在集合A、B可以为任意非空集合，不一定是表示数,可以是其它人或事物本身.典例:(1)设集合M={-10M= {123映射f:MeN满足条件“对任意的xeM,x+f(x)是奇数”，这样的映射f有12个;(2)设f:x—x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2)，则AAB一定是0或{1} .4.求函数定义域的常用方法(一切函数问题:定义域优先)(1)使函数的解析式有意义.解析式求定义域解析式求定义域解析式求定义域y=Ju(x)(n为偶数)u(x)>01y=u(x)u(x),0y=[u(x)]0u(x),0y=logx(aeR，a,1)x>0y=tanx匹x,—+k兀(keZ)2典例:(1)函数y= _g的定义域是[0,2)U(2,3)U(3,4)；lg(x-3)2(2)若函数y=kx+7 的定义域为R,则ke ［0,/)；kx2+4kx+3 4⑶函数f(x)定义域是［a,b］，且b>-a>0，则函数F(x)=f(x)+f(-x)定义域是［a,-a］；⑷设函数f(x)=lg(ax2+2x+1)，①若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;②若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围(答:①a>1；②0<a<1)(2)使实际问题有意义.实际问题有意义实际问题有意义实际问题有意义三角形中0<A〈兀，最大角>/,最小角</距离或弧长或面积或体积等为正数年月日等为正整数(3)复合函数的定义域.简单函数定义域复合函数定义域求法备注

若已知f(x)的定义域为［a,b］则fE(x)］的定义域由不等式a<妃x)<b解出解不等式复合函数定义域简单函数定义域求法备注若f［g(x)］的定义域为［a,b］则f(x)的定义域为g(x)在［a,b］上的值域求值域法典例:⑴若函数y=f(x)的定义域为［〈,2］顶」f(logx)的定义域为(Xr^2<x<4)；(2)若函数f(x2+1)的定义域为［-2,1),则函数f(x)的定义域为xg［1,5］-求函数值域(最值)的方法：(1)配方法一一二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间［m,n］上的最值;二是求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题.求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系).典例：(1)函数y=x2-2x+5,xg［-1,2］的值域是［4,8］；(2)已知f(x)=ax2+4(a+1)x-3(xg(0,2］)在x=2时有最大值，则ag［-1,+»)；2(2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式.典例：(1)y=2sin2x-3cosx-1的值域为［-4,17；］_；(2)y=2x+1+、3的值域为［3,+8)；(令、m7=t>0,注意:换元要等价)；(3)y=(3)y=sinx+cosx+sinx-cosx的值域为［-1,/+5］；(t=sinx+cosxv2sin(x+4⑷y=x+4+%二的值域为［1,3如2+4］；(令x=3cos0(。g［0,兀］)…)(3)函数有界性法——利用已学过函数的有界性,如三角函数的有界性.典例:函数y=业土！，y=4,y=淄二！值域分别是:(-8,1］,(0,1),(-8,3］；1+sin0 1+3x1+cos0 2 2单调性法——利用函数的单调性.典例:(1)求y=x--(1<x<9),y=sin2x+/. ,y=2x-5+log3u的值域为(0,80‘)、［1/',9］、R； 9 2数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率等.典例：⑴若点pg{(x,y)|x2+y2=1),则〈及y-2x的取值范围［-Z"］、［-3］；(2)函数y=y'(x-2)2+'•.•'(x+8)2的值域［10,+8)；⑶函数y=3-6x+13+、宇+4x+5的值域［，:打,+8)注意:异侧和最小,同侧差最大.判别式法——分式函数(分子或分母中有一个是二次),其定义域通常为R典例:⑴函数y=2./ 的值域［-1,1］(x21) (2)若y=log3m2+8x+n的定义域为R,值域为［0,2］,求常数m,n的值(答:m=n=5)(7)不等式法一利用基本不等式a+b>2婚(a,bgR)求函数的最值或值域.其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和平方等技巧.典例:⑴y=^型，可直接用不等式性质,如函数y=^的值域(0,/］.k+x2 2+x2 2(2)y='Im*+十'型，，如函数y=出山1的值域(f,-3]U[1,+8)mx+n x+1⑶y=一座—型,如①函数y=工的值域[一/,/]；②函数y= 的值域^,x2+mx+n 1+x2 22 x+3 2⑷设x,a,a,y成等差数列,x,b,b,y成等比数列，则食1土空的取值范围是(e,0]U[4,+8).1 2 1 2 bb 12(8)导数法——一般适用于高次多项式函数.典例：函数f(x)=2x3+4x2-40x,xe[-3,3]的最小值是一48_.提醒：(1)写函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？(2)函数的最值与值域之间有何关系？典例：函数y=3x(-1<x<3,且xeZ)的值域是{—3,0,3,6,9},不要错觉为[-3,9]分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值f(x)时，一定首先要判断x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.典例:⑴设函数f(x)」(x+X」(x<1),则不等式f(x)>1的解集为(-8,-2]U[0,10]；、4-dx-1.(x>1) (2)已知f(x)=「 (x>0),则不等式x+(x+ 2)f(x+ 2) <5的解集是(-8，/].-1 (x<0) 、 1' —__^-2^求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:f(x)=ax2+bx+c；顶点式：f(x)=a(x-m)2+n；零点式:f(x)=a(x-x)(x-x)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式. 1 2典例:若f(x)为二次函数，且f(x-2)=f(-x-2)，且f(0)=1,图象在X轴上截得的线段长为2'、•,2,求f(x)的解析式.(答：f(x)=1x2+2x+12(2)代换(配凑)法——已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式.典例:⑴已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x2)的解析式(答:f(x2)=-x4+2x2,xe[-、2/2])；这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域.(2)若f(x-1)=x2+—，则函数f(x-1)=x2-2x+3:x x2 ⑶若y=f(x)(xeR)是奇函数，且f(x)=x(1+孑x)(x>0)，那么xe(-8,0)时,f(x)=x(1-»x)⑶方程的思想一一已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组.典例：(1)已知f(x)+2f(-x)=3x-2，求f(x)的解析式(答：f(x)=-3x--)；(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=^^,则f(x)二^^x—1 x2—18.函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.典例:若f(x)=2sin(3x+0),xe[2a-5兀,3a]为奇函数，其中0e(0,2兀)，则a-0值是_0_；(2)确定函数奇偶性的常用方法(若函数解析式较为复杂，应先化简,再判断其奇偶性)：定义法：典例：(1)判断函数y=比兰4的奇偶性奇函数.V9-X2判断函数f(X)=血r+cos2x-cos4X的奇偶性既是奇函数又是偶函数：利用函数奇偶性定义的等价形式:f(x)土f(-x)=0或4!=±］(f(x),o).f(X)典例:判断f(X)=X(―+1)的奇偶性偶函数.2x—1 2图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.典例:判断f(x)=「+1，(X>°)的奇偶性奇函数.x—1.(x<0)函数奇偶性的性质：奇(偶)函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同(反).若f(X)为偶函数，则f(—X)=f(X)=f(IXI).典例:若偶函数f(X)(XeR)在(—80)上单调递减，且f(1)=2,则不等式f(logX)>2的解， 3 1集为(0,i：)(2,+8)若奇函数f(X)定义域中含有0,则必有f(0)=0.故f(0)=0是f(X)为奇函数的既不充分也不必要条件.典例:若f(x)=a^2X+a一2为奇函数,则实数a=-^.2x+1定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”.典例：设f(x)是定义域为R的任一函数，F(x)=(X)+(一X),G(x)=(X)T(一X).22判断F(x)与G(X)的奇偶性；答案：F(x)为偶函数,G(X)为奇函数；若将函数f(X)=lg(10x+1),表示成一个奇函数旋x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x)=X复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. —既奇又偶函数有无穷多个(f(x)=0，定义域是关于原点对称的任意一个数集).9.函数的单调性.(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法(取值一作差一变形一定号)、导数法(在区间(a,b)内，若总有f，(x)>0，则f(x)为增函数;反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f，(x)>0，请注意两者的区别所在.典例：已知函数f(X)=X3—ax在区间［1,+8)上是增函数，则a的取值范围是(—8,3］；②在小题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意双勾函数y=ax+b(a,beR「图象和单调性在解题中的运用：增区间为(—8,—y?2,+8),减区间为［—*',0)和(0,tb'］a a a a^^例：⑴若函数f(x)=x2+2(a—1)x+2在(—8,4］上是减函数，则a取值范围是aV-3；(2)已知函数f(x)=竺土1在区间(—2,+8)上为增函数,则实数a的取值范围(「+8)；x+2 2⑶若函数f(x)=log〃(X+〈-4)(a>0,且a，1)的值域为R,则a的取值范围是0<aV4且a引；复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减.典例：函数,=log疽f2+2X)的单调递增区间是旦幻.特别提醒:求单调区间时，第一，勿忘定义域；典例：若f(x)=堕(x2F+3)在区间g,；］上为减函数，则a的取值范围(1,2&)；第二，在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；第三，单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示；第四，你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?①比较大小;②解不等式;③求参数范围.典例：已知奇函数f(x)是定义在(一2,2)上的减函数，若f(m-1)+f(2m-1)>0，求实数m的取值范围.(答：/<m</)常见的图象变换3y=f(x+a)(a>0)的图象是把函数y=f(x)图象沿x轴向左平移a个单位得到的.典例：设f(x)=2-x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到，则h(x)为h(x)=-log2(X-1)y=f(X+a)((a<0)的图象是把函数y=f(x)图象沿x轴向右平移la个单位得到的.典例：(1)若f(x+199)=4x2+4x+3,则函数f(X)的最小值为一；(2)要得到y=ig(3-x)的图像，需作y=lgx关于工轴对称图像，再向右平移3个单位而得到;⑶函数f(x)=x.lg(x+2)-1的图象与x轴的交点个数有个.函数y=f(X)+a(a>0)图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数y=f(x)+a(a<0)图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向下平移la个单位得到的;典例:将函数y=4+a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原图象关于直线二:对称，那么(C)Aa=-1,b。0Ba=-1,bgRCa=1,b0Da=0,bgR函数y=f(ax)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的」得到的.a典例：(1)将函数y=f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的1(纵坐标不变)，再将此图像3沿X轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为y=f(3X+6)；(2)如若函数y=f(2X-1)是偶函数,则函数y=f(2X)的对称轴方程是X=< .函数y=af(x)(a>0)图象是把函数y=f(x)图象上各点纵坐标变为原来I的a^倍得到的.函数的对称性.①满足条件f(x+a)=f(b-x)的函数的图象关于直线x=电对称.2典例:若y=ax2+bx(aA0)满足f(5-x)=f(x-3)且方程f(X)=X有等根，则f(X)=-1X2+X-点(X,y)关于y轴对称点为(-X,y)涵数y=f(x)关于y轴的对称曲线方程为y=f(-x)；点(X,y)关于X轴对称点为(X,-y)；函数y=f(X)关于x轴的对称曲线方程为y=-f(x)；点(X,y)关于原点对称点为(-X,-y)涵数y=f(x)关于原点对称曲线方程为y=-f(-x)；:⑤点(X,y)关于直线y=±x+a的对称点为(土(y-a),±x+a)；曲线f(x,y)=0关于直线y=±X+a的对称曲线的方程为f(±(y-a),±x+a)=0.特别地，点(x,y)关于直线"x的对称点为(y,x)；曲线f(xy)=0关于直线y=X的对称曲线的方程为f(yx)=0；点(x,y)关于直线y=-x的对称点为(-y,-x)；曲线f(x,y)=0关于直线y=-x的对称曲线的方程为f(-y,-x)=0.典例：己知函数f(x)=空二土,(x，3),若y=f(x+1)的图像是c，它关于直线y=x对称2x-3 2 1图像是c,c关于原点对称的图像为c，则c对应的函数解析式是y=-丝土£；2 2 3 3 2x+1曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0-典例:若函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称，则g(x)=-x2-7x-6形如y=*^(c，0,ad，bc)的图像是双曲线,其两渐近线分别直线x=--(由分母cx+d c为零确定)和直线y=冬(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(--,气.c cc典例：已知函数图象c，与c:y(x+a+1)=ax+a2+1关于直线y=x对称,且图象c，关于点(2,-3)对称，则a的值为^.If(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到;f(|xI)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到.典例:(1)作出函数y=Ilog(x+1)I及y=logIx+1I的图象；(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则函数F(x)=If(x)1+f(IxI)的图象关于y轴对称.提醒:(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；(2)证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；⑶证明图像c与c的对称性,需证两方面:①证明c上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在c上;②证明c上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在c上. 2 2典例：⑴已知函数f(x)=旦J(aeR).求证:函数f(x)的图像关于点M(a,-1)成中心a-x对称图形；(2)设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x辄y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线c.写出曲线c1的方程(答：y=(x-t)3-(x-t)+s)；证明曲线C与c1关于点A(匚,S)对称.12.函数的周期性.(1)类比“三角函数图像”得若y=f(x)图像有两条对称轴x=a,x=b(a，b)，则y=f(x)必是周期函数，且一周期为T=2Ia-bI；若y=f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a。b)，则y=f(x)是周期函数,且一周期为T=2Ia-bI；如果函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a，b),则函数y=f(x)必是周期函数，且一周期为T=4Ia-知；典例:⑴已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在［一2,2］上至少有—个实数根.(2)由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)=f(a+x)(a>0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：函数f(x)满足-f(x)=f(a+x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；若f(x+a)=1 (a丰0)恒成立，则T=2a；③若f(x+a)=-1(a丰0)恒成立，则T=2a-f(x) f(x)若f(x+a)= (a,0)恒成立，则T=4a.类比tan(x+匹)=土唉记忆.1一f(x) 4 1一tanx典例:⑴设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=—f(x)，当0<x<1时,f(x)=x，则f(47.5)=一0.5.；⑵定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在［-3,一2］上是减函数，若a，p是锐角三角形的两个内角，则f(sina),f(cosP)的大小关系为f(sina)>f(cosP)；⑶已知f(x)是偶函数，且g(1)=993,g(x)=f(x—1)是奇函数，求f(2012)的值(答：993)；TOC\o"1-5"\h\z⑷设f(x+2)［1—f(x)］=1+f(x)(xeR)，又f(2)=2+&,则f(2012)=-1-2^2 .指数式、对数式：m \ m /an=nam，an=/-，a0=1(a,0)，log1=0，loga=1，1g2+1g5=1，logx=Inx，anab=NologN=b(a>0,a，1,N>0)，a1oga=N，logb='。，logbn=—logb.a aloga af^m ma典例:(1)log25Dlog4Dlog9的值为8；(2)(1)log：8的值为上2 3 5 2 64⑶已知函数f(n)=log(n+2)(neN*),定义使f⑴-f⑵..•.•f(k)为整数的数k(keN*)叫做企盼数，则在区间［1,20；2］内这样的企盼数共有个.指数、对数值的大小比较:⑴化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；⑶利用中间量(0或1)；(4)化同指数(或同真数)后利用图象比较.函数的应用.(1)求解数学应用题的一般步骤:①审题一认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模一通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模一求解所得的数学问题;④回归一将所解得的数学结果，回归到实际问题中去.(2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立双勾函数y=ax+b(a,beR「型.典例:某旅店有客床100张,各床每天收费10元时可全部额满.若每床每天收费每提高2元则减少10张客床租出，这样，占了减少投入多获利，每床每天收费应提高(B)A2元B4元C6元D8元16.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是:(1)借鉴模特函数进行类比探究.几类常见的抽象函数：①正比例函数型:f(x)=kx(k，0) f(x±y)=f(x)±f(y)；

②幕函数型:f(x)=x2③指数函数型:②幕函数型:f(x)=x2③指数函数型:f(x)=ax④对数函数型:f(x)=logx⑤三角函数型:f(