空间解析几何课件

《解析几何》

－Chapter50引言一、问题的提出二、二次曲线的概念三、本章内容概要四、平面上的虚元素五、二次曲线的有关记号一、问题的提出平面上的二次曲线有哪些？还有没有别的？如何从所给的二次方程判别它代表什么二次曲线？它的形状和位置如何？二次曲线有哪些几何性质？二、二次曲线的概念由二元二次方程

所表示的曲线叫做二次曲线.注：1.不全为零；2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，下标“2”代表“y”，下标“3”代表“1”，交叉项前有2.三、本章内容概要二次曲线的几何性质二次曲线方程的化简二次曲线的分类四、平面上的虚元素1.虚点2.虚向量3.虚直线五、二次曲线的有关记号例写出二次曲线的11种符号讨论二次曲线与直线的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程（1）（2）§5.1二次曲线与直线的相关位置（3）（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：两个实线线两个实点方程（4）有两个共轭的虚根，直线（2）与二次曲线交于两个共轭的虚点.1.二次曲线的渐近方向

定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.

定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.即1)椭圆型：I2>02)抛物型：I2＝03)双曲型：I2<0§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线2.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3

如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.定理5.2.1

点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：

1.如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标2.如果I2＝0，分两种情况：

定义5.2.4

有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线.定义5.2.5

通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.定理5.2.2

二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.

定义5.3.1

如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.

定义5.3.2

二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.§5.3二次曲线的切线

定理5.3.1

如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点.如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.推论如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：例1

求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程

解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且F1(2,1)=5/2≠0,F

2

(2,1)=-2≠0

所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点(2,1)的切线方程为：

5/2(x-2)-2(y-1)=0

即：5x-4y-6=01.二次曲线的直径

定理5.4.1

二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.

定义5.4.1

二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.§5.4二次曲线的直径推论二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为F1(x,y)+kF2(x,y)=0定理5.4.2

中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线2.共轭方向与共轭直径命题中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.

定义5.4.2

中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.

定义5.5.1

二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.§5.5二次曲线的主直径和主方向X:Y成为中心二次曲线的充要条件是对应的有

定义5.5.2

方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根.定理5.5.1

二次曲线的特征根都是实数.定理5.5.2

二次曲线的特征根不能全为零.

定理5.5.3

由二次曲线(1)的特征根λ确定的主方向X:Y，当λ≠0时，为二次曲线的非渐近主方向；当λ＝0时，为二次曲线的渐近主方向.

定理5.5.4

中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径.1.平面直角坐标变换为转轴公式，其中α为坐标轴的旋转角.§5.6二次曲线方程的化简与分类2.