高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系（省一等奖）

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，则过点B，P，Q的截面是()A．邻边不等的平行四边形 B．菱形但不是正方形C．邻边不等的矩形 D．正方形解析：如图所示，过点B，P，Q的截面是菱形PBQD1.答案：B2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()A．0条 B．1条C．0或1条 D．无数条解析：过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行；若没有重合的，则与直线a平行的直线有0条，故选C.答案：C3．已知平面α∥平面β，平面γ∩平面α＝直线a，平面γ∩平面β＝直线b，直线c⊂β，且c∥b，则下列说法不正确的是()A．c∥a B．a∥bC．b∥β D．c∥α解析：根据题意画出图形，如图所示，由图易知只有选项C不正确，因为b⊂β.答案：C4．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错；只有③正确．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝eq\f(1,3)，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.解析：∵EF∥平面ABCD，PQ＝平面PEF∩平面ABCD，∴EF∥PQ，∴DP＝DQ＝eq\f(2,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2),3).答案：eq\f(2\r(2),3)6．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.解析：A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(AE,AB).又eq\f(EG,BD)＝eq\f(AE,AB)，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(EG,BD).于是EG＝eq\f(AF·BD,AC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).答案：eq\f(20,9)7．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：②④三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.证明：取线段AB的中点N，连接MN，DN，因为MN是△ABE的中位线，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD是正三角形，N是线段AB的中点，所以ND⊥AB.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，所以BC⊥AB，所以ND∥BC.又ND⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以ND∥平面BEC.又MN∩ND＝N，所以平面MND∥平面BEC.因为直线DM⊂平面MND，所以DM∥平面BEC.9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥PA.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.10.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．2＋eq\r(3) B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)解析：因为CD∥AB，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF，平面SAB∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF，所以四边形CDEF为等腰梯形，且CD＝2，EF＝1，DE＝CF＝eq\r(3)，所以四边形CDEF的周长为3＋2eq\r(3)，选C.答案：C11.如图，四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______________.解析：因为AC∥平面EFGH，所以EF∥AC，HG∥AC.所以EF＝HG＝eq\f(BE,BA)·m.同理，EH＝FG＝eq\f(AE,AB)·n.因为四边形EFGH是菱形，所以eq\f(BE,AB)·m＝eq\f(AE,AB)·n，所以AE∶EB＝m∶n.答案：m∶n12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．解析：当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，AC1.因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD＝F，所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面EFD，所以DE∥平面AB1C1.13.如图所示，四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．解析：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG.因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB，所以AB∥平面EFGH.同理，可证CD∥平面EFGH.(2)设EF＝x(0＜x＜4)，由(1)知，eq\f(CF,CB)＝eq\f(x,4).则eq\f(FG,6)＝eq\f