弹性力学数值方法：解析法：弹性力学中的变分原理

弹性力学数值方法：解析法：弹性力学中的变分原理1弹性力学与数值方法的简介弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布。数值方法则是解决复杂工程问题的有效手段，通过将连续问题离散化，转化为有限数量的代数方程组，从而在计算机上求解。在弹性力学中，数值方法的应用尤为广泛，包括有限元法、边界元法、有限差分法等。1.1弹性力学中的变分原理变分原理在弹性力学中扮演着重要角色，它提供了一种从能量角度出发求解弹性问题的方法。其中，最著名的变分原理包括最小势能原理和最小余能原理。1.1.1最小势能原理最小势能原理指出，当弹性体达到平衡状态时，其总势能（即外力势能与弹性体内部应变能之和）达到最小值。这一原理可以用于求解弹性体在外力作用下的位移。1.1.2最小余能原理最小余能原理则关注于弹性体的应力状态，指出在满足位移边界条件的情况下，弹性体的余能（即弹性体内部应变能与外力虚功之差）达到最小值。1.2变分原理的历史与应用变分原理的历史可以追溯到17世纪，由牛顿、莱布尼茨等数学家提出。在19世纪，拉格朗日和哈密顿将其应用于力学，形成了现代变分法的基础。20世纪，随着计算机技术的发展，变分原理在数值方法中的应用日益广泛，成为解决复杂弹性力学问题的关键工具。1.2.1应用实例：使用最小势能原理求解一维弹性杆的位移假设有一根长度为L的一维弹性杆，两端分别固定在x=0和x=L处，受到均匀分布的外力f作用。杆的弹性模量为E，截面积为总势能表达式总势能Π由外力势能V和内部应变能U组成：Π内部应变能U为：U外力势能V为：V求解位移将上述表达式代入总势能Π，并利用变分法求Π的极小值，即求解δΠ=0importsympyassp

#定义符号变量

x,u,f,E,A,L=sp.symbols('xufEAL')

#定义内部应变能和外力势能

U=(1/2)*E*A*(sp.diff(u,x))**2

V=f*u

#总势能

Pi=egrate(U,(x,0,L))-egrate(V,(x,0,L))

#利用变分法求解Pi的极小值

delta_Pi=sp.diff(Pi,sp.diff(u,x))

#解微分方程

differential_equation=sp.diff(delta_Pi,x)

solution=sp.dsolve(differential_equation,u)在上述代码中，我们使用了sympy库来定义和求解微分方程。通过定义内部应变能U和外力势能V，我们构建了总势能Π的表达式。然后，利用变分法求解Π的极小值，得到位移ux1.2.2结论变分原理在弹性力学中的应用，不仅提供了理论上的深刻理解，也为数值方法的开发和应用奠定了基础。通过将复杂问题转化为能量极小化问题，变分原理使得弹性力学问题的求解更加直观和高效。本教程详细介绍了弹性力学与数值方法的基本概念，以及变分原理在弹性力学中的应用，通过一个具体的一维弹性杆位移求解实例，展示了如何使用变分原理和数值方法求解弹性力学问题。2弹性力学基础2.1应力与应变的概念在弹性力学中，应力（Stress）和应变（Strain）是两个核心概念，它们描述了材料在受到外力作用时的响应。2.1.1应力应力定义为单位面积上的内力，通常用符号σ表示。在弹性力学中，应力可以分为正应力（σ）和切应力（τ）。正应力是垂直于材料截面的应力，而切应力则是平行于材料截面的应力。应力的单位是帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）或千帕（kPa）表示。2.1.2应变应变是材料在应力作用下发生的形变程度，通常用符号ε表示。应变分为线应变（ε）和剪应变（γ）。线应变描述了材料在某一方向上的伸长或缩短，而剪应变描述了材料在切应力作用下的剪切形变。应变是一个无量纲的量。2.2胡克定律与弹性模量2.2.1胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是弹性力学中的基本定律，它描述了在弹性范围内，应力与应变之间的线性关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：σ其中，σ是应力，ε是应变，E是材料的弹性模量，也称为杨氏模量（Young’sModulus）。2.2.2弹性模量弹性模量是材料的固有属性，反映了材料抵抗形变的能力。对于不同的材料，其弹性模量的值不同。弹性模量的单位也是帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）或千帕（kPa）表示。2.2.3示例：计算弹性模量假设我们有一根材料样品，其长度为1米，截面积为0.01平方米。当施加100牛顿的力时，样品的长度增加了0.001米。我们可以使用胡克定律来计算该材料的弹性模量。#定义变量

force=100#施加的力，单位牛顿

area=0.01#截面积，单位平方米

delta_length=0.001#样品长度的增加，单位米

original_length=1#样品的原始长度，单位米

#计算应力

stress=force/area

#计算应变

strain=delta_length/original_length

#使用胡克定律计算弹性模量

elastic_modulus=stress/strain

#输出结果

print(f"弹性模量为：{elastic_modulus}Pa")在这个例子中，我们首先计算了应力（σ=F/A），然后计算了应变（ε=ΔL/L），最后使用胡克定律计算了弹性模量（E=σ/ε）。通过这个计算，我们可以了解材料在弹性范围内的响应特性。通过上述内容，我们了解了弹性力学中应力与应变的概念，以及胡克定律和弹性模量的基本原理。这些知识是进一步研究弹性力学数值方法的基础。3弹性力学数值方法：解析法：变分原理理论3.1泛函与变分在弹性力学中，泛函与变分的概念是理解变分原理的基础。泛函可以视为函数的函数，它将一个函数映射到一个实数。在弹性力学中，我们通常关心的能量泛函，如总势能泛函，它将位移场函数映射到一个能量值。3.1.1泛函的定义设有一函数空间S，如果存在一个规则，使得对于S中的每一个函数ux，都有一个确定的实数Ju与之对应，则称Ju3.1.2变分的定义对于泛函Ju，如果在S中选取一个函数u0x，并考虑S中所有可以表示为ux=u0x+ϵηδ3.1.3泛函的极值问题在弹性力学中，我们通常寻找使泛函取极值的函数。例如，寻找使总势能泛函最小的位移场，这通常对应于系统的平衡状态。3.2哈密顿原理与拉格朗日方程哈密顿原理是经典力学中的一个基本原理，它指出在所有可能的路径中，实际的物理路径是使作用泛函取极值的路径。在弹性力学中，这一原理可以用来推导系统的运动方程。3.2.1哈密顿原理设系统在时间t1和t2之间的实际路径为qt，所有可能的路径为qt+ϵηt，其中δ3.2.2拉格朗日方程从哈密顿原理出发，可以推导出拉格朗日方程，它是描述系统动力学行为的基本方程。在弹性力学中，拉格朗日方程可以用来描述结构的振动和动力响应。对于一个自由度为n的系统，其拉格朗日方程可以表示为d其中L是系统的拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q3.2.3示例：一维弹性杆的拉格朗日方程考虑一个一维弹性杆，其长度为L，截面积为A，弹性模量为E，质量密度为ρ。假设杆的一端固定，另一端自由，且杆受到一个横向力Ft的作用。设杆的位移为uL其中T是动能，V是势能，ux应用变分原理，可以得到系统的拉格朗日方程ρ这是一维弹性杆的动力学方程。3.3结论通过泛函与变分的概念，以及哈密顿原理和拉格朗日方程，我们可以从一个更深层次的角度理解弹性力学中的平衡和动力学问题。这些原理和方程不仅在理论分析中起着关键作用，也在数值方法的开发中提供了基础。4弹性力学中的变分方法4.1能量泛函的建立在弹性力学中，能量泛函的建立是变分方法的基础。能量泛函通常包含系统的动能和势能，对于静态问题，动能可以忽略，因此我们主要关注势能部分。势能泛函可以表示为位移场的函数，通过最小化这个泛函，我们可以找到系统的平衡状态。4.1.1内能泛函内能泛函UuU其中，Ω是物体的体积，ψεu是应变能密度函数，εu4.1.2外力势能泛函外力势能泛函VuV其中，f是体积力，t是表面力，Γt4.1.3总势能泛函总势能泛函ΠuΠ4.2最小势能原理最小势能原理指出，在给定的边界条件下，系统的平衡状态对应于总势能泛函的最小值。这意味着，对于任何可能的位移场u*δ通过应用最小势能原理，我们可以得到弹性力学的基本方程，即平衡方程、应变-位移关系和应力-应变关系。4.2.1示例：一维弹性杆的最小势能原理考虑一个一维弹性杆，长度为L，截面积为A，弹性模量为E，两端分别受到外力F的作用。假设杆的位移为ux，其中xUV总势能泛函为：Π应用最小势能原理，我们对Πuδ对于所有可能的位移变分δud以及边界条件：u4.2.2代码示例以下是一个使用Python和SciPy库求解上述一维弹性杆问题的示例代码：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

defrod_equation(x,u):

"""

定义一维弹性杆的平衡方程

"""

du_dx=u[1]

d2u_dx2=0

return[du_dx,d2u_dx2]

defrod_boundary(u0,uL):

"""

定义一维弹性杆的边界条件

"""

return[u0[0],uL[0]-FL/EA]

#参数

L=1.0

EA=100.0

F=10.0

FL=F*L

#网格点

x=np.linspace(0,L,100)

#初始猜测

u=np.zeros_like(x)

u_prime=np.zeros_like(x)

#求解边值问题

sol=solve_bvp(rod_equation,rod_boundary,x,[u,u_prime])

#输出结果

print("位移场：",sol.y[0])这段代码使用了SciPy的solve_bvp函数来求解边值问题，即一维弹性杆的平衡方程和边界条件。rod_equation函数定义了平衡方程，rod_boundary函数定义了边界条件。通过求解，我们得到了位移场ux通过上述原理和示例，我们可以看到，弹性力学中的变分方法提供了一种系统的方法来求解弹性体的平衡状态，而最小势能原理则是这一方法的核心。5解析法应用5.1解析解的求解步骤解析解的求解在弹性力学中是一种精确求解问题的方法，它基于数学分析和理论力学原理。下面概述了求解弹性力学问题解析解的基本步骤：问题定义：首先，明确问题的边界条件、载荷条件以及材料属性。这包括确定问题的几何形状、应力或位移边界条件、外力或力矩，以及材料的弹性模量和泊松比等。选择坐标系：根据问题的几何形状和边界条件，选择最合适的坐标系。常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和柱坐标系等。建立微分方程：利用弹性力学的基本方程，如平衡方程、几何方程和物理方程，建立描述问题的微分方程。这些方程通常涉及应力、应变和位移之间的关系。应用边界条件：将问题的边界条件代入微分方程中，形成边界值问题。边界条件可以是应力边界条件（如固定边界或自由边界）或位移边界条件（如位移为零或位移为某一函数）。求解微分方程：使用适当的数学方法求解微分方程，如分离变量法、特征函数法或积分变换法等。这一步骤可能需要利用数学软件或手工计算。验证解的正确性：将求得的解代回原问题的边界条件和微分方程中，检查解是否满足所有的条件。此外，可以通过数值方法或实验数据进行对比，验证解析解的准确性。解析解的解释和应用：最后，对求得的解析解进行物理意义的解释，分析其对工程设计和材料性能的影响。解析解可以用于指导结构设计、预测材料行为或作为数值模拟的参考。5.2典型问题的解析解示例5.2.1示例：一维弹性杆的轴向拉伸假设有一根长度为L，截面积为A的弹性杆，两端分别受到轴向拉力P的作用。杆的材料属性为弹性模量E和泊松比ν。求解杆的轴向位移ux步骤1：问题定义几何形状：一维弹性杆边界条件：u0=0，u材料属性：弹性模量E，泊松比ν步骤2：选择坐标系选择直角坐标系，x轴沿杆的轴线方向。步骤3：建立微分方程利用平衡方程和物理方程，可以得到轴向应力σx和轴向位移ux由于轴向应力σx等于轴向力P除以截面积A，即σx步骤4：应用边界条件将边界条件u0由于ΔL为杆的总伸长量，可以得到u步骤5：求解微分方程微分方程的解为：u利用初始条件u0=0因此，轴向位移的解析解为：u步骤6：验证解的正确性将解代入边界条件uL=这个结果与直觉相符，即杆的伸长量与作用力成正比，与材料的弹性模量和截面积成反比。步骤7：解析解的解释和应用解析解ux=P这个解可以用于分析不同材料和截面积对杆的伸长量的影响，以及在设计结构时考虑材料的弹性特性。通过这个示例，我们可以看到解析法在求解弹性力学问题中的应用步骤和过程。解析解的求得不仅提供了问题的精确数学描述，也为理解和应用弹性力学原理提供了基础。6数值方法基础6.1有限元法简介有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种广泛应用于工程分析和科学计算的数值方法，主要用于求解偏微分方程。在弹性力学中，FEM被用来求解结构的应力、应变和位移。该方法将连续的结构域离散化为有限数量的单元，每个单元用一组节点来表示，通过在这些节点上求解未知量，进而得到整个结构的解。6.1.1原理有限元法基于变分原理，通过最小化能量泛函来求解问题。在弹性力学中，能量泛函通常表示为结构的总势能，包括内部能量和外部能量。内部能量由应变能表示，外部能量则由外力做功表示。通过求解能量泛函的极小值，可以得到结构的平衡状态。6.1.2内容离散化：将连续的结构域划分为有限数量的单元，每个单元用一组节点来表示。形函数：定义单元内部位移与节点位移之间的关系，通常使用多项式函数。刚度矩阵：基于单元的形函数和材料属性，计算单元的刚度矩阵，它描述了单元内部力与位移之间的关系。组装：将所有单元的刚度矩阵组装成全局刚度矩阵，同时处理边界条件。求解：基于全局刚度矩阵和边界条件，使用线性代数方法求解节点位移。6.1.3示例假设有一个简单的梁，长度为L，截面惯性矩为I，弹性模量为E，受到均匀分布的载荷q。使用有限元法求解梁的位移。importnumpyasnp

#定义材料和几何参数

L=1.0#梁的长度

E=200e9#弹性模量

I=0.001#截面惯性矩

q=10000#均匀分布载荷

#定义有限元参数

n_elements=10#单元数量

n_nodes=n_elements+1#节点数量

element_length=L/n_elements#单元长度

#初始化刚度矩阵和载荷向量

K=np.zeros((n_nodes,n_nodes))

F=np.zeros(n_nodes)

#计算每个单元的刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n_elements):

#单元的节点编号

node1=i

node2=i+1

#单元刚度矩阵

k_element=(E*I)/(element_length**3)*np.array([[12,6*element_length,-12,6*element_length],

[6*element_length,4*element_length**2,-6*element_length,2*element_length**2],

[-12,-6*element_length,12,-6*element_length],

[6*element_length,2*element_length**2,-6*element_length,4*element_length**2]])

#将单元刚度矩阵组装到全局刚度矩阵中

K[node1*2:node2*2+1,node1*2:node2*2+1]+=k_element

#单元载荷向量

f_element=q*element_length**2/2*np.array([0,element_length/2,0,-element_length/2])

#将单元载荷向量组装到全局载荷向量中

F[node1*2:node2*2+1]+=f_element

#处理边界条件

K[0,:]=0#固定端位移为0

K[0,0]=1#保证矩阵非奇异

F[0]=0#固定端位移为0

#求解节点位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#输出节点位移

print("节点位移:",U)6.2边界元法概述边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一种数值方法，主要用于求解边界值问题。与有限元法不同，BEM只在结构的边界上进行计算，因此可以减少计算量和内存需求。在弹性力学中，BEM被用来求解结构的应力和位移。6.2.1原理边界元法基于格林定理，将结构域内的偏微分方程转化为边界上的积分方程。通过在边界上离散化并求解积分方程，可以得到边界上的未知量，进而通过格林定理求解整个结构域内的解。6.2.2内容边界离散化：将结构的边界划分为有限数量的边界元素。格林函数：定义结构域内任意点与边界上点之间的关系，通常基于弹性力学的基本解。积分方程：基于格林函数和边界条件，建立边界上的积分方程。求解：使用数值积分方法求解边界上的未知量，进而求解整个结构域内的解。6.2.3示例假设有一个圆形的平板，半径为R，厚度为t，弹性模量为E，泊松比为nu，受到均匀的压力p。使用边界元法求解平板的位移。importnumpyasnp

fromegrateimportquad

#定义材料和几何参数

R=1.0#圆形平板的半径

t=0.01#平板的厚度

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

p=10000#均匀压力

#定义格林函数

defgreen_function(r,theta,r_prime,theta_prime):

r_diff=r-r_prime*np.cos(theta-theta_prime)

return(1-nu)/(2*np.pi*E*t)*np.log(r_diff)

#定义边界上的积分方程

defboundary_integral_equation(theta):

defintegrand(theta_prime):

returngreen_function(R,theta,R,theta_prime)*p*R*np.cos(theta_prime)

returnquad(integrand,0,2*np.pi)[0]

#初始化边界上的未知量

n_elements=100#边界元素数量

theta=np.linspace(0,2*np.pi,n_elements,endpoint=False)#边界上的角度

#求解边界上的未知量

U=np.array([boundary_integral_equation(t)fortintheta])

#输出边界上的位移

print("边界上的位移:",U)以上示例展示了如何使用边界元法求解一个圆形平板在均匀压力下的位移。通过定义格林函数和边界上的积分方程，使用数值积分方法求解边界上的未知量，进而得到整个结构的解。7弹性力学数值方法：解析法：变分原理与数值方法的结合7.1有限元法中的变分原理应用7.1.1原理介绍在弹性力学中，变分原理提供了一种从能量角度求解问题的方法。有限元法（FiniteElementMethod,FEM）利用变分原理，将连续的弹性体离散为有限个单元，每个单元用简单的函数（如多项式）来近似其位移场。通过最小化总势能原理，可以得到一个关于位移的代数方程组，从而求解弹性体的应力和应变。7.1.2内容详解考虑一个弹性体，其总势能可以表示为：Π其中，ψ是应变能密度，u是位移向量，f是体积力，t是表面力。在有限元法中，我们用位移的试函数uh来代替真实的位移u，并要求总势能Π在uδ即V其中，δuh是位移的变分，7.1.3示例代码假设我们有一个简单的二维弹性体问题，使用Python和SciPy库来求解。我们定义一个矩形区域，应用边界条件，并使用有限元法求解位移。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格和节点

n=10#网格数量

nodes=np.mgrid[0:1:(n+1)*1j,0:1:(n+1)*1j].reshape(2,-1).T

#定义单元

elements=np.zeros((n*n,4),dtype=int)

foriinrange(n):

forjinrange(n):

elements[i*n+j]=[i*n+j,i*n+j+1,(i+1)*n+j+1,(i+1)*n+j]

#定义材料属性

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu],[nu,1]])#应力应变关系

#定义外力

f=np.zeros((nodes.shape[0],2))

f[-1,1]=-1e5#在最后一个节点上施加向下的力

#定义边界条件

bc=np.zeros((nodes.shape[0],2),dtype=bool)

bc[0,0]=True#固定第一个节点的x方向

bc[0,1]=True#固定第一个节点的y方向

#构建刚度矩阵和力向量

K=lil_matrix((2*nodes.shape[0],2*nodes.shape[0]))

F=np.zeros(2*nodes.shape[0])

foreinelements:

#计算单元的刚度矩阵和力向量

Ke=np.zeros((8,8))

Fe=np.zeros(8)

foriinrange(4):

forjinrange(4):

#计算应变能密度的贡献

Ke[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]+=D*np.outer([1,0],[1,0])*0.25

#计算外力的贡献

Fe[2*i:2*i+2]+=f[e[i]]*0.25

#将单元的刚度矩阵和力向量添加到全局矩阵和向量中

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*e[i]:2*e[i]+2,2*e[j]:2*e[j]+2]+=Ke[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]

F[2*e:2*e+2]+=Fe

#应用边界条件

K=K.tocsr()

F[bc.flatten()]=0

K[bc.flatten(),:]=0

K[:,bc.flatten()]=0

K[bc.flatten(),bc.flatten()]=1

#求解位移

u=spsolve(K,F)

u=u.reshape(nodes.shape[0],2)

#输出结果

print(u)7.1.4解释上述代码首先定义了网格和节点，然后定义了单元、材料属性、外力和边界条件。接着，构建了刚度矩阵和力向量，应用了边界条件，并使用SciPy的spsolve函数求解了位移。最后，输出了位移结果。7.2边界元法中的变分原理7.2.1原理介绍边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一种基于变分原理的数值方法，它将问题的求解域从整个弹性体的体积上转移到其边界上。BEM利用格林定理将弹性体内部的积分转换为边界上的积分，从而减少了问题的维数，提高了计算效率。7.2.2内容详解在BEM中，我们通常使用以下的变分方程：S其中，t*是虚拟的表面力，t7.2.3示例代码边界元法的实现通常比有限元法复杂，因为它涉及到格林函数的计算。下面是一个简化版的边界元法示例，使用Python和NumPy库来求解一个简单的二维弹性体问题。importnumpyasnp

#定义边界节点和边界单元

boundary_nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

boundary_elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#定义材料属性

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu],[nu,1]])#应力应变关系

#定义外力

f=np.zeros(boundary_nodes.shape[0])

f[-1]=-1e5#在最后一个节点上施加向下的力

#定义边界条件

bc=np.zeros(boundary_nodes.shape[0],dtype=bool)

bc[0]=True#固定第一个节点

#构建边界刚度矩阵和力向量

K=np.zeros((boundary_nodes.shape[0],boundary_nodes.shape[0]))

F=np.zeros(boundary_nodes.shape[0])

foreinboundary_elements:

#计算边界单元的刚度矩阵和力向量

Ke=np.zeros((2,2))

Fe=np.zeros(2)

#假设使用了格林函数，这里简化为直接计算

Ke[0,0]=1

Ke[0,1]=-1

Ke[1,0]=-1

Ke[1,1]=1

Fe[0]=f[e[0]]

Fe[1]=f[e[1]]

#将边界单元的刚度矩阵和力向量添加到全局矩阵和向量中

K[e[0],e[0]]+=Ke[0,0]

K[e[0],e[1]]+=Ke[0,1]

K[e[1],e[0]]+=Ke[1,0]

K[e[1],e[1]]+=Ke[1,1]

F[e[0]]+=Fe[0]

F[e[1]]+=Fe[1]

#应用边界条件

K[bc,:]=0

K[:,bc]=0

K[bc,bc]=1

F[bc]=0

#求解位移

u=np.linalg.solve(K,F)

#输出结果

print(u)7.2.4解释在边界元法中，我们首先定义了边界节点和边界单元，然后定义了材料属性、外力和边界条件。接着，构建了边界刚度矩阵和力向量，应用了边界条件，并使用NumPy的linalg.solve函数求解了位移。最后，输出了位移结果。需要注意的是，这里的格林函数计算被简化了，实际应用中需要根据具体问题来计算格林函数。8弹性力学数值方法：解析法：案例分析8.1平面应力问题的解析与数值解8.1.1平面应力问题概述在弹性力学中，平面应力问题通常发生在薄板结构中，其中厚度方向的应力可以忽略不计。这类问题的分析基于弹性体在平面内受到的外力作用，而厚度方向的应力为零的假设。平面应力问题的解析解可以通过求解偏微分方程来获得，而数值解则通常采用有限元方法(FEM)或边界元方法(BEM)等数值技术。8.1.2解析解示例考虑一个矩形薄板，其尺寸为a×b，在两个相对的边施加均匀的拉应力σx，而其他边界保持自由。假设材料是各向同性的，弹性模量为E$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\1}{1-\nu^2}\left(\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2v}{\partialx\partialy}\right)=0$$$$\frac{\partial^2v}{\partialy^2}+\frac{\1}{1-\nu^2}\left(\frac{\partial^2v}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialx\partialy}\right)=0$$其中u和v分别是x和y方向的位移。通过分离变量法，可以求得位移场的解析解。8.1.3数值解示例使用Python和FEniCS库，我们可以求解上述平面应力问题的数值解。以下是一个简单的FEniCS代码示例，用于求解上述矩形薄板的平面应力问题。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#创建网格和定义函数空间

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(a,b),100,100)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义变分问题

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0))#体力

g=Constant((sigma_x,0))#边界应力

E=1e3#弹性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#平面应力条件下的弹性张量

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(2)+2*mu*eps(v)

#应变张量

defeps(v):

returnsym(nabla_grad(v))

#变分形式

a=inner(sigma(u),eps(v))*dx

L=dot(f,v)*dx+dot(g,v)*ds

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#输出结果

file=File('displacement.pvd')

file<<u8.1.4解释上述代码首先创建了一个矩形网格，并定义了一个向量函数空间V，用于描述位移场。接着，定义了边界条件，这里假设所有边界上的位移为零。然后，定义了变分问题，包括试函数u，测试函数v，体力f和边界应力g。通过定义弹性张量和应变张量，我们构建了平面应力条件下的变分形式a和L。最后，使用solve函数求解变分问题，并将结果输出到一个VTK文件中，以便可视化。8.2维弹性问题的变分分析8.2.1维弹性问题概述三维弹性问题涉及弹性体在三个方向上的应力和应变分析。这类问题的解析解通常很难获得，因为它们涉及到复杂的偏微分方程组。然而，通过变分原理，我们可以将问题转化为求解能量泛函的极小值问题，这在数值分析中非常有用。8.2.2变分分析原理在三维弹性问题中，我们通常考虑弹性体的总势能P，它由弹性势能V和外力势能W组成：P其中，VWσij是应力张量，εij是应变张量，fi是体力，t8.2.3数值解示例对于三维弹性问题，我们同样可以使用FEniCS库来求解。以下是一个简单的FEniCS代码示例，用于求解一个立方体在顶部施加均匀压力的三维弹性问题。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#创建网格和定义函数空间

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(a,b,c),50,50,50)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定义边界条件

deftop_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[2],c)andon_boundary

defother_boundaries(x,on_boundary):

returnnear(x[2],0)ornear(x[0],0)ornear(x[0],a)ornear(x[1],0)ornear(x[1],b)

bc_top=DirichletBC(V.sub(2),Constant(0),top_boundary)

bc_other=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),other_boundaries)

bcs=[bc_top,bc_other]

#定义变分问题

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-p))#体力，假设顶部有均匀压力p

E=1e3#弹性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu