高中数学人教A版第三章函数的应用 学业质量标准检测

第三章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是eq\x(导学号69175095)(C)A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]由题意知f(1)＝eq\f(6,1)－log21＝6>0，f(2)＝eq\f(6,2)－log22＝3－1＝2>0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0.故f(2)·f(4)<0.由零点存在性定理可知，包含f(x)零点的区间为(2,4)．2．若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f(eq\f(a＋b,2))＞0.则eq\x(导学号69175096)(B)A．f(x)在[a，eq\f(a＋b,2)]上有零点 B．f(x)在[eq\f(a＋b,2)，b]上有零点C．f(x)在[a，eq\f(a＋b,2)]上无零点 D．f(x)在[eq\f(a＋b,2)，b]上无零点[解析]由已知，易得f(b)·f(eq\f(a＋b,2))＜0，因此f(x)在[eq\f(a＋b,2)，b]上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．3．(2023～2023黑龙江大庆实验中学高一期末)，根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是eq\x(导学号69175097)(C)x－10123ex1x＋323456A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)[解析]令f(x)＝ex，g(x)＝x＋3，f(－1)－g(－1)<0，f(0)－g(0)<0，f(1)－g(1)<0，f(2)－g(2)>0，∴H(x)＝f(x)－g(x)的根位于(1,2)内，选C．4．下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是eq\x(导学号69175098)(C)[解析]∵二分法研究的是函数的变号零点，C中零点左右两侧的函数值的符号相反，∴选C．5．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2023)<0，f(2023)<0，f(2023)>0，则下列叙述正确的是eq\x(导学号69175099)(D)A．函数f(x)在(2023,2023)内不存在零点B．函数f(x)在(2023,2023)内不存在零点C．函数f(x)在(2023,2023)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2023,2023)内可能存在零点[解析]在区间(2023,2023)内零点的个数不确定，故B，C错误，在区间(2023,2023)内可能有零点，故选D．6．已知x0是函数f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则eq\x(导学号69175100)(B)A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0[解析]由于函数g(x)＝eq\f(1,1－x)＝－eq\f(1,x－1)在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且f(x1)＜0，f(x2)＞0，故选B．7．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是eq\x(导学号69175101)(A)A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)[解析]∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，∴f(－3)·f(－1)＜0.∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，∴f(2)·f(4)＜0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．8．某研究小组在一项实验中获得一组关系y、t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系eq\x(导学号69175102)(D)A．y＝2t B．y＝2t2 C．y＝t3 D．y＝log2[解析]由点(2,1)，(4,2)，(8,4)，故选D．9．某厂2023年年产量为a,2023年年产量增长10%,2023比2023年减产10%，设2023年年产量为b，则eq\x(导学号69175103)(A)A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法判断[解析]∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－eq\f(1,100))＝a×eq\f(99,100)，∴b＜a，故选A．10．若方程lnx＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a的值为eq\x(导学号69175104)(B)A．1 B．2 C．3 D．[解析]设f(x)＝lnx＋x－4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0，∴根在区间(2,3)内，∴a＝2.故选B．11．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x1f(x)－1－－那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0,1)为eq\x(导学号69175105)(B)A． B．1.3125 C．[解析]由于f＞0，f＜0，且－＜，故选B．12．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则eq\x(导学号69175106)(B)A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b[解析]因为f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)的零点a∈(－1,0)；因为g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2；因为h(eq\f(1,2))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，所以h(x)的零点c∈(eq\f(1,2)，1)．因此a＜c＜b.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是__m<－eq\f(1,8)__.eq\x(导学号69175107)[解析]当m＝0时，函数有零点，所以应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝1＋8m<0，))解得m<－eq\f(1,8).14．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是\x(导学号69175108)[解析]设函数f(x)的两个零点为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝a.∵|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1－4a)<1，又f(m)<0，∴f(m＋1)>0.∴f(x)在(m，m＋1)上零点的个数是1.15．若关于x的方程eqlog\s\do8(\f(1,2))x＝eq\f(m,1－m)在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围是__0<m<\x(导学号69175109)[解析]要使方程有解，只需eq\f(m,1－m)在函数y＝logeq\f(1,2)x(0<x<1)的值域内．∵x∈(0,1)，∴eqlog\s\do8(\f(1,2))x>0.∴eq\f(m,1－m)>0，∴0<m<1.16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是__①⑤\x(导学号69175110)①有三个实根；②x＞1时恰有一实根；③当0＜x＜1时恰有一实根；④当－1＜x＜0时恰有一实根；⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．[解析]f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，eq\f(1,2))和(eq\f(1,2)，1)内，故只有①⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x∈[1，＋∞，,x2－2x，x∈－∞，1，))求函数g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零点.eq\x(导学号69175111)[解析]求函数g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零点，即求方程f(x)－eq\f(1,4)＝0的根．当x≥1时，由2x－2－eq\f(1,4)＝0得x＝eq\f(9,8)；当x<1时，由x2－2x－eq\f(1,4)＝0得x＝eq\f(2＋\r(5),2)(舍去)或x＝eq\f(2－\r(5),2).∴函数g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零点是eq\f(9,8)或eq\f(2－\r(5),2).18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；eq\x(导学号69175112)(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．[解析](1)因为f(x)的两个零点分别是－3,2，所以－3与2是一元二次方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8－b,a)＝－1，,\f(－a－ab,a)＝－6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，))故f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18，其图象的对称轴为x＝－eq\f(1,2)，开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，则f(x)的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12.所以值域为[12,18]．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥\f(3,2)，,lg3－x，x<\f(3,2).))若方程f(x)＝k无实数解，求k的取值范围.eq\x(导学号69175113)[解析]当x≥eq\f(3,2)时，函数f(x)＝lgx是增函数，∴f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞]；当x<eq\f(3,2)时，函数f(x)＝lg(3－x)是减函数，∴f(x)∈(lgeq\f(3,2)，＋∞)．故f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞)．要使方程无实数解，则k<lgeq\f(3,2).故k的取值范围是(－∞，lgeq\f(3,2))．20．(本小题满分12分)某公司2023年的年产值为1000万元，若计划10年后的2023年增加到5000万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝，ln10＝eq\x(导学号69175114)[解析]设每年年增长率为x，则1000(1＋x)10＝5000，即(1＋x)10＝5，两边取常用对数，得10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝eq\f(lg5,10)＝eq\f(1,10)(lg10－lg2)＝eq\f(7,100).又∵lg(1＋x)＝eq\f(ln1＋x,ln10)，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝eq\f(7,100)×ln10＝eq\f(7,100)×＝＝%.又由已知条件：ln(1＋x)≈x得x≈%.故每年的平均增长率约为%.21．(本小题满分12分)关于x的方程x2－2x＋a＝0，求a为何值时：eq\x(导学号69175115)(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？[解析]设f(x)＝x2－2x＋a，(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f(1)＜0，得1－2＋a＜0，所以a＜1.(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＞0，,f1＜0，,f2＜0，,f3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋a＞0，,1－2＋a＜0，,4－4＋a＜0，,9－6＋a＞0，))解得－3＜a＜0.(3)由方程的两个根都大于零，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a＞0，,－\f(－2,2)＞0，,f0＞0，))解得0＜a＜1.22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).eq\x(导学号69175116)(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[分析](1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．(2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f