高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 第1节

第二讲第一节一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，E为eq\o\ac(AC,\s\up10(︵))的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是()A．50°，30°，100° B．55°，20°，105°C．60°，10°，110° D．40°，20°，120°解析：如右图所示，连接AD．∵AB＝AC，D是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，∴AD过圆心O.∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°，∠CBD＝∠CAD＝20°.∵E是eq\o\ac(AC,\s\up10(︵))的中点，∴∠CBE＝eq\f(1,2)∠CBA＝35°，∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°.答案：B2．如图所示，AB是半⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(\r(7),3)解析：如右图所示．连接BD，则∠BDP＝90°，∵∠DCP＝∠BAP，∠CDP＝∠ABP，∴△APB∽△CPD．∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝eq\f(3,4).在Rt△BPD中，cos∠BPD＝eq\f(PD,PB)，∴cos∠BPD＝eq\f(3,4).∴tan∠BPD＝eq\f(\r(7),3).答案：D3．AB为⊙O的直径，AC为圆中的任意一弦，点D为eq\x\to(BC)的中点，那么OD()A．等于eq\f(1,2) B．等于ACC．与AC相交 D．与AC平行解析：如右图所示，连接OC．∵D为eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，∴∠BOD＝∠DOC＝eq\f(1,2)∠BOC．又∵∠A＝eq\f(1,2)∠BOC，∴∠A＝∠BOD．∴OD∥AC，故选D．答案：D4.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于()A．4π B．8πC．12π D．16π解析：由∠ACB＝30°知eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))所对圆心角为60°，由OB＝OA知△BOA为等边三角形，故AB＝OB＝OA＝4，故S圆＝πr2＝π×42＝16π.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，则eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度数为_________，eq\o\ac(AOB,\s\up10(︵))的度数为________.解析：由圆心角定理，得eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度数＝∠AOB的度数＝100°，eq\o\ac(AOB,\s\up10(︵))的度数＝360°－eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度数＝360°－100°＝260°，故填100°，260°.答案：100°260°6.如图，△ABC是圆O的内接等边三角形，AD⊥AB，与BC的延长线相交于点D，与圆O相交于点E，若圆O的半径r＝1，则DE＝________.解析：连接BE.∵AD⊥AB．所以BE为⊙O的直径，且BE＝2r＝2.又∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝30°，∠EBD＝30°，又∵∠ABD＝60°，∴∠D＝∠EBD＝30°，∴DE＝BE＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图，AB是⊙O的一条弦，∠ACB的平分线交AB于点E，交⊙O于点D．求证：AC·CB＝DC·CE.证明：连接BD．在△ACE与△DCB中，∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角，∴∠EAC＝∠BDC．又∵CE为∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE∽△DCB．∴eq\f(AC,CE)＝eq\f(DC,CB).∴AC·CB＝DC·CE.8．已知如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是eq\o\ac(BF,\s\up10(︵))的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．解析：(1)证明：连接FC，则BF⊥FC．在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°，∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC．∴eq\f(BE,BC)＝eq\f(BD,BF).即BE·BF＝BD·BC．(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵eq\o\ac(AF,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE＞BD，∴AE＞BD．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图，BC是半圆O的直径，A、D为半圆O的三等分点，且BC＝4，P是直径BC上的一动点，且PF⊥BD，PE⊥AC．(1)求PE＋PF的值；(2)如果点P是AD边上的动点，那么PE＋PF的值是不是定值？如果PE＋PF是定值，请证明你的结论，如果不是定值，请说明理由．解析：(1)∵A，D为半圆O的三等分点.eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))，∴∠DBC＝∠ACB＝30°，又∵∠PFB＝∠PEC＝90°，∴BP＝2PF，PC＝2PE，∴BP＋PC＝2(PF＋PE)，∴PF＋PE＝eq\f(4,2)＝2.(2)P点在AD上时，PE＋PF是定值．∵A、D是半圆O的三等分点，∴∠DAC＝∠ADB＝30°，在Rt△PAE中，PE＝eq\f(1,2)AP，在Rt△PDF中，PF＝eq\f(1,2)PD．∴PE＋PF＝eq\f(1,2)