高中数学苏教版第二章数列数列 2023版第2章数列

数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1数列的概念与分类阅读教材P31，完成下列问题．1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．()(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．()(3)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的第5项为eq\f(1,5).()(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√教材整理2数列的通项公式阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是．【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是an＝2n－1，n∈N*.【答案】an＝2n－1，n∈N*2．若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝.【解析】∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[小组合作型]根据数列的前n项写出通项公式写出下列数列的一个通项公式．(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(2)9,99,999,9999，…；(3)eq\f(22－1,1)，eq\f(32－2,3)，eq\f(42－3,5)，eq\f(52－4,7)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，….【精彩点拨】eq\x(观察)→eq\x(归纳an与n的关系)→eq\x(验证结论)→eq\x(得出答案)【自主解答】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2)(n∈N*)．(2)各项加1后，变为10,100,1000,10000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N*)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝eq\f(n＋12－n,2n－1)(n∈N*)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)neq\f(1,nn＋1)(n∈N*)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(3)eq\f(2,3)，－1，eq\f(10,7)，－eq\f(17,9)，eq\f(26,11)，－eq\f(37,13)，….【导学号：92862029】【解】(1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以an＝eq\f(2n－1,2n).(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为eq\f(12＋1,2＋1)，－eq\f(22＋1,2×2＋1)，所以an＝(－1)n＋1eq\f(n2＋1,2n＋1).通项公式的简单应用已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{an}中的项？3是否为{an}中的项？【精彩点拨】(1)令n＝1,2,3求解即可；(2)令an＝45或an＝3解n便可．【自主解答】(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f(9,2)(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f(3,2)，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n的方程；(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n2－21n,2)(n∈N*)．(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．令an＝1，得eq\f(n2－21n,2)＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1，则有an＝an＋1，即eq\f(n2－21n,2)＝eq\f(n＋12－21n＋1,2)，解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]数列的性质探究1数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？【提示】可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{an}中，n∈N*.探究2如何定义数列{an}的单调性？【提示】对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an，则数列为递增数列，若an＋1<an，则数列为递减数列．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)．数列{an}是单调递增的，求实数k的取值范围．【精彩点拨】利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．【自主解答】∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－eq\f(k,2)，∴当－eq\f(k,2)≤1，即k≥－2时，{an}是单调递增数列．另外，当1<－eq\f(k,2)<2且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))－1<2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))，即－3<k<－2时，{an}也是单调递增数列(如图所示)．∴k的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an＋1≤an，))则an为最大项；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an＋1≥an，))则an为最小项．[再练一题]3．已知数列{an}的通项公式是an＝－2n2＋9n＋3(n∈N*)，求它的最大项.【导学号：92862030】【解】由题意知，－2n2＋9n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,4)))eq\s\up20(2)＋eq\f(105,8).由于函数f(x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up20(2)＋eq\f(105,8)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞))上是减函数，故当n＝2时，f(n)＝－2n2＋9n＋3取得最大值13，所以数列{an}的最大项为a2＝13.1．已知下列数列：(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(－1n－1·n,2n－1)，…；(5)1,0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是，无穷数列是，递增数列是，递减数列是，常数列是，摆动数列是．(将合理的序号填在横线上)【解析】(1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(因为\f(n－1,n)＝1－\f(1,n)))；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．【答案】(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为．【解析】这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为an＝n＋1.【答案】an＝n＋13．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是．【解析】如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是an＝(－1)n＋1，也可以是an＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2­1­1的方法搭三角形：图2­1­1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式是.【导学号：92862031】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.【答案】an＝2n＋15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(4,n2＋3n)(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a1＝eq\