高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式学业分层测评3

学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D.[3lg2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)，∴xyz≤8.∴lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.【答案】B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为()A．nnB．2nC．n2D．2n＋1【解析】x＋eq\f(a,xn)＝＋eq\f(a,xn)，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.【答案】A3．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为()\f(1,8)B．1\f(\r(3,18),3)\f(4,27)【解析】∵0<x<1，∴0<1－x<1，∴x(1－x)2＝eq\f(1,2)·2x·(1－x)·(1－x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－x＋1－x,3)))3＝eq\f(4,27).当且仅当x＝eq\f(1,3)时，等号成立．【答案】D4．已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，则()【导学号：32750016】A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x ≤y≤x【解析】由a，b，c大于0，易知eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，即x≥y.又z2＝eq\f(a2＋b2＋c2,3)，x2＝eq\f(a＋b＋c2,9)，且x2＝eq\f(a2＋b2＋c2＋2ab＋bc＋ca,9)≤eq\f(3a2＋b2＋c2,9)＝eq\f(a2＋b2＋c2,3)，∴x2≤z2，则x≤z，因此z≥x≥y.【答案】B5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为()A．2 B．7C．8 【解析】∵6＝x＋3y＋4z＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋y＋y＋y＋4z≥6eq\r(6,x2y3z)，∴x2y3z≤1，当eq\f(x,2)＝y＝4z时，取“＝”，即x＝2，y＝1，z＝eq\f(1,4)时，x2y3z取得最大值1.【答案】D二、填空题6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝eq\f(a＋b,2)，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．【解析】由题意知a＋(b*c)＝a＋eq\f(b＋c,2)＝eq\f(2a＋b＋c,2)，(a＋b)*(a＋c)＝eq\f(a＋b＋a＋c,2)＝eq\f(2a＋b＋c,2)，所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．【答案】a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)的最小值为________．【解析】∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，则a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,a－2b－3)＋5≥3eq\r(3,a－2×b－3×\f(1,a－2b－3))＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝eq\f(1,a－2b－3)，即a＝3，b＝4时等号成立．【答案】88．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤eq\f(1,27)；②eq\f(1,abc)≥27；③a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).其中正确的不等式序号是________．【解析】∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，0<abc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(3)＝eq\f(1,27)，eq\f(1,abc)≥27，从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)，③正确．【答案】①②③三、解答题9．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋（eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)）eq\s\up10(2)≥6eq\r(3)，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【证明】因为a，b，c均为正数，由算术­几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))， ①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)eq\s\up10(-\f(1,3)).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up10(2)≥9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3)). ②故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up10(2)≥3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))＋9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3)).又3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))＋9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3))≥2eq\r(27)＝6eq\r(3)， ③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))＝9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3))时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝eq\r(4,3)时，原式等号成立．10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.(1)求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)的最小值；(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.【解】(1)因为x＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)>0，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)≥eq\f(3,\r(3,xyz))>0，所以(x＋y＋z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)))≥9，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时，eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＝eq\f(1,z)取最小值3.(2)证明：x2＋y2＋z2＝eq\f(x2＋y2＋z2＋x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2,3)≥eq\f(x2＋y2＋z2＋2xy＋yz＋zx,3)＝eq\f(x＋y＋z2,3)＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，所以3≤x2＋y2＋z2<9.[能力提升]1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥eq\f(1,8)πD．V≤eq\f(1,8)π【解析】设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝eq\f(6－4r,2)，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·eq\f(6－4r,2)＝πr2(3－2r)≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋r＋3－2r,3)))eq\s\up10(3)＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．【答案】B2．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()【导学号：32750017】A．1B．2C．3D．4【解析】xy＋x2＝eq\f(1,2)xy＋eq\f(1,2)xy＋x2≥3eq\r(3,\f(1,2)xy·\f(1,2)xy·x2)＝3eq\r(3,\f(1,4)x2y2)＝3eq\r(3,\f(4,4))＝3.【答案】C3．已知关于x的不等式2x＋eq\f(1,x－a2)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．【解析】∵2x＋eq\f(1,x－a2)＝(x－a)＋(x－a)＋eq\f(1,x－a2)＋2a.又∵x－a＞0，∴2x＋eq\f(1,x－a2)≥3eq\r(3,x－ax－a\f(1,x－a2))＋2a＝3＋2a，当且仅当x－a＝eq\f(1,x－a2)，即x＝a＋1时，取等号．∴2x＋eq\f(1,x－a2)的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.【答案】24．如图1­1­3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1­1­3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图1­1­3【解】设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，由图可有2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2·h＝eq\f(3\