高中数学苏教版第二章平面向量向量的应用 2023版第2章

向量的应用1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理向量的应用阅读教材P91～P92的全部内容，完成下列问题.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有eq\o(AB,\s\up18(→))·eq\o(BC,\s\up18(→))＝0.()(2)若eq\o(AB,\s\up18(→))∥eq\o(CD,\s\up18(→))，则直线AB与CD平行.()(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多.()【解析】(1)可能eq\o(AC,\s\up18(→))·eq\o(CB,\s\up18(→))＝0或eq\o(BA,\s\up18(→))·eq\o(AC,\s\up18(→))＝0，故错误.(2)eq\o(AB,\s\up18(→))∥eq\o(CD,\s\up18(→))，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误.(3)W＝F·s＝|F|·|s|cosθ，故错误.【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]向量在物理中的应用如图2­5­1所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图2­5­1【精彩点拨】解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.|eq\o(OA,\s\up18(→))|＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up18(→))|＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|sin30°＝eq\f(1,2)×300＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题]1.已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功.【解】(1)eq\o(AB,\s\up18(→))＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up18(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up18(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up18(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up18(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J).∴合力F对质点所做的功为－102J.向量在平面几何中的应用如图2­5­2所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【导学号：48582116】图2­5­2【精彩点拨】法一：选取基底，并证明eq\o(DE,\s\up18(→))·eq\o(AF,\s\up18(→))＝0.法二：建立平面直角坐标系证明eq\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝0.【自主解答】法一：设eq\o(AD,\s\up18(→))＝a，eq\o(AB,\s\up18(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up18(→))＝eq\o(DA,\s\up18(→))＋eq\o(AE,\s\up18(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up18(→))＝eq\o(AB,\s\up18(→))＋eq\o(BF,\s\up18(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0，故eq\o(AF,\s\up18(→))⊥eq\o(DE,\s\up18(→))，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq\o(AF,\s\up18(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up18(→))＝(1，－2).因为eq\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up18(→))⊥eq\o(DE,\s\up18(→))，即AF⊥DE.用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路：(1)向量的线性运算法：eq\x(选取基底)→eq\x(把待证问题用基底线性表示)→eq\x(利用向量的线性运算或数量积找相应关系)→eq\x(把向量问题几何化)(2)向量的坐标运算法：eq\x(建立适当的坐标系)→eq\x(把相关量坐标向量化)→eq\x(利用向量的坐标运算找相应关系)→eq\x(把向量问题几何化)但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.[再练一题]2.如图2­5­3，已知O为△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o(OA,\s\up18(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OB,\s\up18(→))|2＋|eq\o(CA,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up18(→))|2，求证：O为△ABC的垂心.图2­5­3【证明】设eq\o(OA,\s\up18(→))＝a，eq\o(OB,\s\up18(→))＝b，eq\o(OC,\s\up18(→))＝c，则eq\o(BC,\s\up18(→))＝c－b，eq\o(CA,\s\up18(→))＝a－c，eq\o(AB,\s\up18(→))＝b－a，由题设：|eq\o(OA,\s\up18(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OB,\s\up18(→))|2＋|eq\o(CA,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up18(→))|2，化简：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得c·b＝a·c＝b·a，从而eq\o(AB,\s\up18(→))·eq\o(OC,\s\up18(→))＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴eq\o(AB,\s\up18(→))⊥eq\o(OC,\s\up18(→)).同理eq\o(BC,\s\up18(→))⊥eq\o(OA,\s\up18(→))，eq\o(CA,\s\up18(→))⊥eq\o(OB,\s\up18(→))，所以O为△ABC的垂心.[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用探究1如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)平行的直线l的方程？【提示】设直线l上任意一点P(x，y)，则eq\o(P0P,\s\up18(→))＝(x－x0，y－y0).由题意可知eq\o(P0P,\s\up18(→))∥a，∴y－y0＝k(x－x0).探究2如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l的方程？【提示】设直线l上任意一点P(x，y)，则eq\o(P0P,\s\up18(→))＝(x－x0，y－y0).由题意可知eq\o(P0P,\s\up18(→))⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程.【精彩点拨】(1)先求出D，E，F的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解.【自主解答】(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则eq\o(DM,\s\up18(→))∥eq\o(DE,\s\up18(→)).eq\o(DM,\s\up18(→))＝(x＋1，y－1)，eq\o(DE,\s\up18(→))＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程.同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则eq\o(CN,\s\up18(→))⊥eq\o(AB,\s\up18(→))，∴eq\o(CN,\s\up18(→))·eq\o(AB,\s\up18(→))＝0.又eq\o(CN,\s\up18(→))＝(x＋6，y－2)，eq\o(AB,\s\up18(→))＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题]3.已知点A(2，－1).(1)求过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程；(2)求过点A与向量a＝(5,1)垂直的直线方程.【解】(1)设所求直线上任一点P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up18(→))＝(x－2，y＋1).由题意知eq\o(AP,\s\up18(→))∥a，即(x－2)－5(y＋1)＝0，即x－5y－7＝0.故过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程为x－5y－7＝0.(2)设所求直线上任一点P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up18(→))＝(x－2，y＋1).由题意知，eq\o(AP,\s\up18(→))⊥a，即eq\o(AP,\s\up18(→))·a＝0，即5(x－2)＋(y＋1)＝0，即5x＋y－9＝0.故过点A与向量a＝(5,1)垂直的直线方程为5x＋y－9＝0.1.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝________.【解析】由题意知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2).【答案】(1,2)2.飞机以300km/h的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos30°＝150eq\r(3)(km/h).【答案】150eq\r(3)3.在OA为边，OB为对角线的矩形中，eq\o(OA,\s\up18(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up18(→))＝(－2，k)，则实数k＝________.【导学号：48582117】【解析】如图所示，由于eq\o(OA,\s\up18(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up18(→))＝(－2，k)，所以eq\o(AB,\s\up18(→))＝eq\o(OB,\s\up18(→))－eq\o(OA,\s\up18(→))＝(1，k－1).在矩形中，由eq\o(OA,\s\up18(→))⊥eq\o(AB,\s\up18(→))得eq\o(OA,\s\up18(→))·eq\o(AB,\s\up18(→))＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.【答案】44.过点A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直线方程是________.【解析】设P(x，y)为直线上的任意一点，∴eq\o(AP,\s\up18(→))＝(x－3，y＋2)，eq\o(AP,\s\up18(→))⊥n，∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，即5x－3y－21＝0.【答案】5x－3y－21＝05.如图2­5­4，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°.(用向量方法证明)图2­5­4【证明】连结OP，设向量eq\o(OA,\s\up18(→))＝a，