高中数学北师大版第四章函数应用单元测试 学业质量标准检测

第四章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是eq\x(导学号00815022)(D)A．0 B．1C．2 D．3[解析]因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．2．函数y＝x的零点是eq\x(导学号00815023)(A)A．0 B．(0,0)C．(1,0) D．1[解析]函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A．3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是eq\x(导学号00815024)(B)A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[解析]若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B．4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为eq\x(导学号00815025)(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝eq\x(导学号00815026)(C)A．0 B．2C．4 D．无法判断[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.6．下图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．在下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是eq\x(导学号00815027)(B)A．[－2，－1] B．[1,2]C．[4,5] D．[5,6][解析]在区间[1,2]上的零点为不变号零点，故不能用二分法求．7．夏季高山温度从山脚起每升高100米，降低摄氏度，已知山顶的温度是摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为eq\x(导学号00815028)(C)A．1750米 B．1730米C．1700米 D．1680米[解析]设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－，山顶温度是摄氏度，代入得＝26－.∴x＝17(百米)，∴山的相对高度是1700米．8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是eq\x(导学号00815029)(B)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[解析]∵f(x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－eq\f(5,2)<0，f(0)＝1>0，故选B．9．已知函数f(x)的图像是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x123456f(x)－－－则函数f(x)存在零点的区间为eq\x(导学号00815030)(C)A．区间[1,2]和[2,3]B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6][解析]由图表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0.故选C．10．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m的取值范围是eq\x(导学号00815031)(A)A．(－5，－4] B．(－∞，－4]C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析]考查函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m－2,2)>2,f2＝m＋5>0,m－22－45－m≥0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－2,m>－5，,m≥4或m≤－4，))∴－5<m≤－4.故选A．11．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的变号零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[0，eq\f(a,2)]，[0，eq\f(a,4)]，[0，eq\f(a,8)]，则下列说法正确的是eq\x(导学号00815032)(D)A．函数f(x)在区间[0，eq\f(a,16)]中有零点B．函数f(x)在区间[0，eq\f(a,16)]或[eq\f(a,16)，eq\f(a,8)]中有零点C．函数f(x)在区间[eq\f(a,16)，a]中无零点D．函数f(x)在区间[0，eq\f(a,16)]或[eq\f(a,16)，eq\f(a,8)]中有零点，或零点是eq\f(a,16)[解析]由二分法的定义可知，只有D正确．12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为eq\x(导学号00815033)(D)A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}[解析]令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3xx≥0,－x2－3xx<0)).∴g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3x≥0,－x2－4x＋3x<0)).当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.当x<0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－eq\r(7)，∴函数g(x)的零点的集合为{－2－eq\r(7)，1,3}．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x2－3)(x2－2x－3)的零点为±eq\r(3)，3，－1.eq\x(导学号00815034)[解析]令f(x)＝0，得x＝±eq\r(3)，或x＝3，或x＝－1.14．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m2\x(导学号00815035)[解析]设框架的一边长为xm，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym2，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(0<x<6)，ymax＝9(m2)．15．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2023个，则f(x)的零点的个数为\x(导学号00815036)[解析]因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2023个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2023个零点，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4025个零点．16．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0,2x－6＋lnx，x>0))的零点个数是\x(导学号00815037)[解析]当x≤2，令x2－2＝0，得x＝－eq\r(2)；当x>0时，令2x－6＋lnx＝0，即lnx＝6－2x，在同一坐标系中，画出函数y＝6－2x与y＝lnx的图像如图所示．由图像可知，当x>0时，函数y＝6－2x与y＝lnx的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点．综上可知，函数f(x)有2个零点．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数y＝x3－7x＋6的零点.eq\x(导学号00815038)[解析]∵x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6)＝x(x2－1)－6(x－1)＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)，∴由x3－7x＋6＝0即(x－1)(x－2)(x＋3)＝0得x1＝－3，x2＝1，x3＝2.∴函数y＝x3－7x＋6的零点为－3,1,2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋m的零点都在区间(0,2)内，求实数m的范围.eq\x(导学号00815039)[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f0>0，,f2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4m≥0,m>0,4－2＋m>0))，解得0<m≤eq\f(1,4).所以实数m的取值范围是(0，eq\f(1,4)]．19．(本小题满分12分)(济南一中月考，有改动)判断方程x3－4x－2＝0在区间[－2,0]内实数根的个数.eq\x(导学号00815040)[解析]设f(x)＝x3－4x－2，则f(x)的图像是连续曲线，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x＝3，得f(3)＝13>0，因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，∴f(x)分别在[－2，－1)、(－1,0)，(0,3)内至少存在一个零点，又∵x3－4x－2＝0最多有3个根，∴方程x3－4x－2＝0在区间[－2,0]内有2个实数根．20．(本小题满分12分)某公司从2023年的年产值100万元，增加到10年后2023年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝，ln10＝eq\x(导学号00815041)[解析]设每年年增长率为x，则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，两边取常用对数，得10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝eq\f(lg5,10)＝eq\f(1,10)(lg10－lg2)＝eq\f,10).又∵lg(1＋x)＝eq\f(ln1＋x,ln10)，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝eq\f,10)×ln10＝eq\f,10)×＝＝%.又由已知条件：ln(1＋x)≈x得x≈%.故每年的平均增长率约为%.21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由.eq\x(导学号00815042)[解析]若实数a满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－eq\f(1,5)或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时a＝－eq\f(1,5)，此时f(x)＝x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5).令f(x)＝0，即x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5)＝0.解得，x＝－eq\f(2,5)或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－eq\f(1,5).综上所述，a∈(－∞，－eq\f(1,5))∪(1，＋∞)．22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m).eq\x(导学号00815043)[分析]解答本题可先进行分类讨论，在各种情况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的情况．[解析]如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，∴S1＝SBCDB1＝5600m2(2)当一顶点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，∴S2＝SAA1DE＝6000m2(3)当一顶点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.设MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x.又OA＝20，OB＝30，则eq\f(OA,OB)＝eq\f(MQ,QB)，∴eq\f(2,3)＝eq\f(x,QB)，∴QB＝eq\f(