高中数学人教B版4第一章坐标系 第1章柱坐标系和球坐标系

柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置.(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(难点)[基础·初探]1.柱坐标系(1)柱坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1­5­1所示，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为任意实数.图1­5­1(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点M(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,z＝z)).2.球坐标系(1)球坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0.图1­5­2如图1­5­2所示，设z轴的正向与向量eq\o(OM,\s\up7(→))的夹角为φ，x轴的正向与eq\o(OM0,\s\up7(→))的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标.若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点M(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的变换公式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ)).[思考·探究]1.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？【提示】空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.2.在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】柱坐标系中，ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面.[自主·测评]1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为(2，eq\f(π,4)，3)，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为()A.(2,0,3) B.(2，eq\f(π,4)，0)C.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，3) D.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0)【解析】由点的空间柱坐标的意义可知，选B.【答案】B2.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A.(1,1,0) B.(1,0,1)C.(0,1,1) D.(1,1,1)【解析】x＝ρ·cosθ＝1cosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1.【答案】B3.设点M的直角坐标为(－1，－eq\r(3)，3)，则它的柱坐标是()A.(2，eq\f(π,3)，3) B.(2，eq\f(2π,3)，3)C.(2，eq\f(4π,3)，3) D.(2，eq\f(5π,3)，3)【解析】∵ρ＝eq\r(－12＋－\r(3)2)＝2，tanθ＝eq\f(－\r(3),－1)＝eq\r(3)，∴θ＝eq\f(π,3)或eq\f(4,3)π.又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－eq\r(3)，∴排除θ＝eq\f(π,3)，∴θ＝eq\f(4,3)π.∴M的柱坐标为(2，eq\f(4π,3)，3).【答案】C4.设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为()【导学号：62790006】A.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0) B.(eq\r(2)，eq\f(5π,4)，eq\f(π,2))C.(2，eq\f(5π,4)，0) D.(2,0，eq\f(π,4))【解析】由坐标变换公式，得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(2)，cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f(π,2).∵tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(5,4)π.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：类型一点的柱坐标与直角坐标互化设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标.【精彩点拨】已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z.))求出ρ，θ即可.【尝试解答】设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝ρcosθ，,1＝ρsinθ，,z＝1，))解之得，ρ＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4).因此，点M的柱坐标为(eq\r(2)，eq\f(π,4)，1).由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为ρ，θ，z代入变换公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z.))求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝eq\f(y,x)，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.[再练一题]1.根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，eq\f(5π,6)，3)；(2)(eq\r(2)，eq\f(π,4)，5).【解】设点的直角坐标为(x，y，z).(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，eq\f(5π,6)，3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝2cos\f(5π,6)＝－\r(3)，,y＝ρsinθ＝2sin\f(5π,6)＝1，,z＝3，))因此所求点的直角坐标为(－eq\r(3)，1,3).(2)∵(ρ，θ，z)＝(eq\r(2)，eq\f(π,4)，5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝\r(2)cos\f(π,4)＝1，,y＝ρsinθ＝\r(2)sin\f(π,4)＝1，,z＝5.))故所求点的直角坐标为(1,1,5).类型二将点的球坐标化为直角坐标已知点M的球坐标为(2，eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π)，求它的直角坐标.【精彩点拨】eq\x(球坐标)eq\o(→,\s\up14(x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，),\s\do14(z＝rcosφ))eq\x(直角坐标)【尝试解答】设点的直角坐标为(x，y，z).∵(r，θ，φ)＝(2，eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π)，∴x＝2sineq\f(3,4)πcoseq\f(3,4)π＝2×eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(\r(2),2))＝－1，y＝2sineq\f(3,4)πsineq\f(3,4)π＝2×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝1，z＝2coseq\f(3,4)π＝2×(－eq\f(\r(2),2))＝－eq\r(2).因此点M的直角坐标为(－1,1，－eq\r(2)).1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，θ，φ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.2.化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ.))转化为三角函数的求值与运算.[再练一题]2.若“例2”中点M的球坐标改为M(3，eq\f(5π,3)，eq\f(5π,6))，试求点M的直角坐标.【解】设M的直角坐标为(x，y，z).∵(r，θ，φ)＝(3，eq\f(5π,3)，eq\f(5π,6))，x＝rsinφcosθ＝3sineq\f(5π,6)coseq\f(5π,3)＝eq\f(3,4)，y＝rsinφsinθ＝3sineq\f(5π,6)sineq\f(5π,3)＝－eq\f(3\r(3),4)，z＝rcosφ＝3coseq\f(5π,6)＝－eq\f(3\r(3),2).∴点M的直角坐标为(eq\f(3,4)，－eq\f(3\r(3),4)，－eq\f(3\r(3),2)).类型三空间点的直角坐标化为球坐标已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为eq\r(2)，如图1­5­3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标.图1­5­3【精彩点拨】先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标.【尝试解答】点C1的直角坐标为(1,1，eq\r(2)).设C1的球坐标为(r，θ，φ)，其中r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝r·cosφ，∴r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋\r(2)2＋12)＝2.由z＝rcosφ，∴cosφ＝eq\f(\r(2),2)，φ＝eq\f(π,4).又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4)，从而点C1的球坐标为(2，eq\f(π,4)，eq\f(π,4)).1.由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ.))求出r，θ，φ.2.利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝eq\f(y,x)，cosφ＝eq\f(z,r).特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误.[再练一题]3.若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标.【解】易知C的直角坐标为(1,1,0).设点C的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π.(1)由于ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4).因此点C的柱坐标为(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0).(2)由r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋12＋0)＝eq\r(2).∴cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f(π,2).故点C的球坐标为(eq\r(2)，eq\f(π,2)，eq\f(π,4)).[真题链接赏析](教材P21练习T2)设点M的柱坐标为(2，eq\f(π,6)，7)，求它的直角坐标.在柱坐标系中，点M的柱坐标为(2，eq\f(2,3)π，eq\r(5))，则|OM|＝________.【命题意图】本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画.【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z).由(ρ，θ，z)＝(2，eq\f(2,3)π，eq\r(5))知x＝ρcosθ＝2coseq\f(2,3)π＝－1，y＝2sineq\f(2,3)π＝eq\r(3).因此|OM|＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(－12＋\r(3)2＋\r(5)2)＝3.【答案】3我还有这些不足：(