高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系单元测试 同课异构

第二章单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能2．下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面互相平行B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图D2­13．已知一个四棱锥的三视图如图D2­1所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是()A．4B．3C．2D．14．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题．若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个5．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱A．2个B．3个C．4个D．5个6．若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m7．如图D2­2所示，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，若PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()图D2­2A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°9．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β10．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n为两条不同的直线，给出下列命题：()①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β.其中是真命题的有()A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④11．如图D2­3所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是图D2­3①EF与BB1垂直；②EF⊥平面BCC1B1；③EF与C1D所成的角为45°；④EF∥平面A1B1C1D1A．②③B．①④C．③D．①②④12．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，则二面角C1­BD­C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°请将选择题答案填入下表：题号123456789101112总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为eq\r(6)，其余各棱长都为2，则二面角A­BD­C的大小为________．14．已知a，b为互相不垂直的两条异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)15．如图D2­4所示，若正四棱锥P­ABCD的底面积为3，体积为eq\f(\r(2),2)，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为________．图D2­4图D2­516．如图D2­5所示，已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝eq\f(1,2)；②a＝1；③a＝eq\r(3)；④a＝2；⑤a＝4.当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取________．(填上一个你认为正确的数据序号即可)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图D2­6所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.图D2­618．(12分)如图D2­7所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2eq\r(2)，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面ABF.图D2­719．(12分)如图D2­8所示是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求直线MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M­NPQ的体积与正方体的体积之比．图D2­820．(12分)如图D2­9所示，在三角形ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求该五面体的体积．图D2­921．(12分)如图D2­10所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′­ABCE的体积；(3)在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．图D2­1022．(12分)如图D2­11所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，M为AB的中点，矩形ABEF所在的平面和平面ABCD相互垂直．(1)求证：AD⊥平面DBE；(2)设DE的中点为P，求证：MP∥平面DAF；(3)若AB＝2，AD＝AF＝1，求三棱锥E­BCD的体积．图D2­11

参考答案1．D[解析]两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2．A[解析]B为公理2，C为公理1，D为公理3.3．A[解析]由三视图知：该几何体为底面是矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中四个侧面全是直角三角形，所以该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是4.4．C[解析]若α，β换为直线a，b，则命题化为“若a∥b，且a⊥γ，则b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥β，且a⊥b，则b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥α，且b⊥α，则a⊥b”，此命题为真命题．故真命题有2个．5．B[解析]与AA1平行的平面有：平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个．6．B[解析]A错误，要判断l⊥α，需判断l垂直于α内的两条相交直线；B正确，此为线面垂直的性质定理；C错误，l与α内的直线可能平行或异面；D错误，l与m可能平行、相交或异面．7．D[解析]由题意知，直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA.∵在Rt△PAD中，PA＝2AB＝AD，∴∠PDA＝45°.8．C[解析]延长CA到D，使得AD＝AC，连接A1D，则四边形ADA1C1为平行四边形，故∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又∵三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝609．C[解析]若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β，错误，α与β也可能相交．10．C[解析]①错误，可能n⊂α；③错误，可能β，γ相交；②和④正确．11．A[解析]显然①④正确，②③错误．12．A[解析]连接AC交BD于点O，连接OC1.因为AB＝AD＝2eq\r(3)，所以AC⊥BD，又易证BD⊥面ACC1A1，所以BD⊥OC1，所以∠COC1为二面角C1­BD­C的一个平面角．因为在△COC1中，OC＝eq\r(6)，CC1＝eq\r(2)，所以tan∠COC1＝eq\f(\r(3),3)，所以二面角C1­BD­C的大小为30°.13．90°[解析]取BD的中点M，连接AM，CM，因为AB＝AD＝BC＝CD，所以AM⊥BD，CM⊥BD，故∠AMC为所求二面角的平面角．根据题意可知AM＝eq\r(3)，CM＝eq\r(3)，因为AM2＋CM2＝AC2，所以∠AMC＝90°.14．①②④[解析]①②④对应的情况如下图所示：15．60°[解析]连接AC，BD交于点O，连接OE，易得OE∥PA，∴所求的角为∠BEO.由所给条件易得OB＝eq\f(\r(6),2)，OE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(2),2)，BO⊥OE，∴tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝eq\r(3)，∴∠OEB＝60°.16．①(或②)[解析]为了使PQ⊥QD，只要使AQ⊥QD.设BQ＝x，则CQ＝2－x.∵△AQD是直角三角形，∴AD2＝AQ2＋QD2，即4＝a2＋x2＋a2＋(2－x)2，∴x2－2x＋a2＝0，此方程有解，∴Δ≥0，即0＜a≤1.故①②都满足题意．17．证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又∵EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.18．解：(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2eq\r(2)，所以CE＝eq\r(CD2＋ED2)＝3，所以cos∠CED＝eq\f(ED,CE)＝eq\f(2\r(2),3).故异面直线CE与AF所成角的余弦值为eq\f(2\r(2),3).(2)证明：过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.19．解：(1)如图所示，MN与PQ是异面直线，连接NC，MC，因为在正方体中，PQ∥NC，所以∠MNC为异面直线MN与PQ所成的角．因为MN＝NC＝MC，所以∠MNC＝60°.所以MN与PQ所成角的大小为60°.(2)设正方体的棱长为a，则正方体的体积V＝a3.而三棱锥M­NPQ的体积与三棱锥N­PQM的体积相等，且NP⊥平面MPQ，所以VN­PQM＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)MP·MQ·NP＝eq\f(1,6)a3.所以四面体M­NPQ的体积与正方体的体积之比为1∶6.20．解：(1)证明：图2连接AE.∵四边形ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，∴GF∥AC.又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面EBC.(3)取AB的中点N，连接CN.因为AC＝BC，∴CN⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED.∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).∵五面体C­ABED是四棱锥，∴V四棱锥C­ABED＝eq\f(1,3)S四边形ABED·CN＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).21．解：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′­ABCE＝eq\f(1,3)S四边形ABCE·D′F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).(3)如图所示，连接AC交BE