高中数学人教A版3第二章随机变量及其分布单元测试 省赛获奖

2.2第二课时事件的相互独立性一、课前准备1.课时目标(1)理解事件相互独立的定义；(2)能利用事件相互独立的乘法公式求n事件都发生的概率.2.基础预探1.设A、B为两个事件，如果P（AB）＝_______，则称事件A与事件B相互独立.2.如果事件A与B相互独立，那么______，_______，_________也都相互独立.3.一般地，如果事件相互独立，那么这ｎ个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即____________________.二、学习引领1.事件相互独立的的深入理解当A，B相互独立时，易知=P（A），而，所以；易知=P（A），故，所以.因此可知，当A，B相互独立时.2.事件互斥与事件相互独立的区别事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生；两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的与否没有影响.这两个可以结合应用如：1-表示两个相互独立事件A、B至少有一个不发生的概率.3.判断两个事件是否是相互独立事件首先，一般地，两个事件相互独立是指两个试验的结果之间的关系或者一个大试验的两个不相关的子试验之间的关系；其次,事件的相互独立性可以看作是一个综合事件分几个步骤完成,可类比分步计数原理的解题过程理解.三、典例导析题型一：相互独立事件的判断例1李云有一串8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一次李云醉酒回家，他每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回，则“第一次打不开门”记为事件A，“第二次能打开门”记为事件B，请问事件A与B是否相互独立？思路导析：本题分析事件A的发生与否对事件B是否有影响，即可得到判断.解：由于此人喝醉，不能记得用过那把钥匙，故每次取得每把钥匙的可能性相同；并且试用后不加标记的放回去.易知，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件.规律方法：判断两个事件是否独立，可利用两个事件相互独立的定义分别求出、、代入公式判定；也可分析事件A的发生与否对事件B的发生是否有影响.变式训练：甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生’’与“从乙组中选出1名女生”；这两个事件是否是相互独立事件？题型二求相互独立事件同时发生的概率例2中央电视台“星光大道”节目共有四关，每期都有实力相当的5名选手参加，每关淘汰一名选手，最后决出周冠军.经选拔，某选手将参加下一期的“星光大道”.(1)求该选手进入第四关才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三关的概率.思路导析：事件“进入第四关才被淘汰”的含义为“前三关未被淘汰，第四关被淘汰”；事件“选手至多进入第三关”的含义为“第一关被淘汰”或“第二关被淘汰”或“第三关被淘汰”；然后结合互斥事件的加法公式与相互独立事件的乘法公式解决.解：(1)记“该选手能通过第关”的事件为l,2,3,4)，则，，，，所以该选手进入第四关才被淘汰的概率为.(2)该选手至多进入第三关的概率.方法规律：求相互独立事件的概率，首先判断所给事件是否能分解为互相独立连续的几个子事件，然后选用公式求解.这类问题也常与互斥事件、古典概型等联系存一起，注意恰当的选择方法.变式训练：两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）ABCD题型三：概率加法乘法的综合问题例3某植物园要栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，.（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.思路导析：事件“至少有一种果树成苗”的对立事件为“两个果树都不成苗”；事件“恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活”包含“甲果树成苗且移栽成活”或“乙果树成苗且移栽成活”两个互斥的事件，然后利用互斥事件加法公式以及相互独立事件的概率乘法公式解决.解：分别记“甲、乙两种果树成苗”为事件、；分别记“甲、乙两种果树苗移栽成活”为事件、，则，，，.（1）“甲、乙两种果树至少有一种成苗”的对立事件是“甲、乙两种果树都不成苗”，而与是相互独立事件，故其概率为；（2）分别记“两种果树培育成苗且移栽成活”为事件，则，.“恰好有一种果树培育成苗且移栽成活”包括两种情况：“甲种果树培育成苗且移栽成活、乙种果树没培育成苗且没移栽成活”，即；或“甲种果树没有培育成苗且没移栽成活、乙种果树培育成苗且移栽成活”，即，而与是互斥事件，与B、A与是相互独立事件，故其概率为方法规律：对于相互独立事件、互斥事件的综合问题的求解可分三步进行：一是列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；二是理清各事件之间的关系，列出关系式；三是根据事件之间的关系准确的运用概率公式进行计算.当遇到“至多”、“至少”问题时常考虑其对立事件，从问题的反面求解.变式训练：甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳两次，第2次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.四、随堂练习1.不透明的坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则与是()A相互独立事件B不相互独立事件C互斥事件D.对立事件2.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（）（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）A. B. C. D.3.两人同时向一目标射击，甲命中率为，乙命中率为，则两人都没有命中目标的概率为()A.B.C.D.4.在一次考试中，某班语文、数学、英语平均分在120分以上概率分别为0.4，0.2，0.4，则该班的三科平均分都在120分以上的概率为.5.袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________.6.今年国庆节期间，王林去花博会参观的概率为，李明去花博会参观的概率为，假定两人的行动相互之间没有影响，求在国庆节期间王林、李明两人至少有一人去花博会参观的概率.五、课后作业1.一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是()ABCD.2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A、B中至少有一件发生的概率是（）A.B.C.D.3.甲、乙、丙三名同学利用某网校联网学习数学，每天上课后独立完成六道自我检测题，甲答及格的概率为0.8，乙答及格的概率为0.6，丙答及格的概率为0.7，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率.4.如图，用A、B、C、D表示四类不同的元件连接成系统.当元件A、B至少有一个正常工作且元件C、D至少有一个正常工作时，系统正常工作已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为0.5、0.6、0.7、0.8，元件连接成的系统正常工作的概率= . 5.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）906030106.在三人兵乓球对抗赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.（1）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；（2）求三人得分相同的概率；（3）求甲不是小组第一的概率.参考答案2.2第二课时事件的相互独立性2.基础预探1.2.A与与B与3.三、典例导析例1变式训练解：“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.例2变式训练解：用事件A、B分别表示“两个实习生每人加工一个零件”为合格品，事件C表示“两个零件中恰有一个为一等品”，则,由题意知A、B为相互独立事件则，故选B.例3变式训练解：记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得，，且，（）相互独立.(I)“甲第2次试跳才成功”为事件，且两次试跳相互独立，所以.答：甲第2次试跳才成功的概率为.(II)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件.方法一：，且，，彼此互斥，方法二：.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为.四、随堂练习1.答案：A解析：与是相互独立事件，由于这是有放回地摸球，与无影响.2.答案：D解析：可用排除法，由相互独立事件的概率乘法公式可知：P=.3.答案：B解析：记“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，则“甲没有命中目标”为事件，“乙没有命中目标”为事件，由于A、B相互独立，则、也相互独立，则.4.答案：0.032解析：三个事件相互独立，由相互独立事件的乘法公式可知P=.5.答案：解：颜色相同包括三红、三黄、三绿，概率为P=.6.解：记事件A=“王林去花博会参观”，B=“李明去花博会参观”，则表示“王林不去花博会参观”，表示“李明不去花博会参观”，且A、B是相互独立事件，“王林、李明至少有一人去花博会参观”的对立事件是，因为,所以，，所以，王林、李明两人至少有一人去花博会参观的概率是.五、课后作业1.答案：C解析：设A为第一次测试通过，B为第二次测试通过，则所求概率为.2.答案：C解析：，.3.解析：由相互独立事件的概率乘法公式可知P=.4.答案：0.752解析：由相互独立事件的概率乘法公式可知：=0.752.5.解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1-（1-0.8）(1-0.7)(1-0