高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 精品获奖2

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n等于()A．7 B．－20C．28 D．11解析：m＝(0,8,3)，n＝(－1,5，－4)，∴m·n＝40－12＝28.答案：C2．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是()A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)解析：由题意，Aeq\o(B,\s\up6(→))＝(－2，－6，－2)，设点D(x，y，z)，则Deq\o(C,\s\up6(→))＝(3－x,7－y，－5－z)．因为Aeq\o(B,\s\up6(→))＝Deq\o(C,\s\up6(→))，所以x＝5，y＝13，z＝－3.答案：D3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于A．3eq\r(10) B．2eq\r(10)\r(10) D．5解析：∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝eq\r(92＋32＋02)＝3eq\r(10).答案：A4．若a＝(0,1，－1)，b＝(3,2＋x2，x2)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是()A．－1 B．0C．1 D．－2解析：由(a＋λb)⊥a知，(a＋λb)·a＝0，即a2＋λa·b＝0，∴2＋λ(2＋x2－x2)＝0，∴λ＝－1，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A(－1,3,1)、B(－1,3,4)、D(1,1,1)，若Aeq\o(P,\s\up6(→))＝2Peq\o(B,\s\up6(→))，则|Peq\o(D,\s\up6(→))|的值是________．解析：设点P(x，y，z)，则由Aeq\o(P,\s\up6(→))＝2Peq\o(B,\s\up6(→))，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2－2x,y－3＝6－2y,z－1＝8－2z))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝3,z＝3))，即P(－1,3,3)，则|Peq\o(D,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋12＋1－32＋1－32)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)6．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________．解析：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝5×2＋1×(－3)＋(－7)×1＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴∠ACB＝90°，又∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|≠|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴△ABC为直角三角形．答案：直角三角形三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，以及点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．求：(1)|2a＋b|(2)在直线AB上是否存在一点E，使Oeq\o(E,\s\up6(→))⊥b(O为原点)．解析：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)所以|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).(2)Oeq\o(E,\s\up6(→))＝Oeq\o(A,\s\up6(→))＋Aeq\o(E,\s\up6(→))＝Oeq\o(A,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若Oeq\o(E,\s\up6(→))⊥b，则Oeq\o(E,\s\up6(→))·b＝0，即－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，故存在点E，使Oeq\o(E,\s\up6(→))⊥b，此时E点坐标为(－eq\f(6,5)，－eq\f(14,5)，eq\f(2,5))．8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，(1)若eq\o(DB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，求点D的坐标；(2)问是否存在实数x、y，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))成立？若存在，求x、y的值；若不存在，说明理由．解析：(1)设点D的坐标为(x，y，z)，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝(－x,1－y，－z)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－x，－y,2－z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．∵eq\o(DB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－x,－1)＝\f(－z,2),1－y＝0,\f(－x,－1)＝－\f(y,1),2－z＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，,z＝2.))此时点D(－1,1,2)．(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，－1,2)．假设存在x、y∈R满足条件，则由已知可得(－1,0,2)＝x(－1,1,0)＋y(0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y,2y)＝(－x，x－y,2y)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－x,0＝x－y,2＝2y))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＝y,y＝1.))⇒x＝y＝1.∴存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9.(10分)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长均为2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得eq\o(AB1,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))所成的夹角为eq\f(3π,4)？解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，由已知，棱长都等于2，所以A(0,0,0)、B(eq\r(3)，1,0)、C(0,2,0)、B1(eq\r(3)，1,2)、Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0)).假设存在点N在棱CC1上，可以设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则有eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1,2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，m))，∴|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋m2)，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，m))＝2m－1.cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))〉＝coseq\f(3π,4)＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(MN,\s\up6(