椭圆的简单几何性质

第一课时椭圆的简单几何性质莘县实验高中复习请回答:椭圆的标准方程是什么?学习目标1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；2.掌握、b、c、e间的关系；3.了解解析几何“用代数的方法研究曲线性质”这一基本思想方法.1.范围

思考1:观察图形，指出椭圆位于什么样的范围内.（用数学式子表示此范围）思考2:请利用标准方程推导你的结论.

由，得：≥0，≤1，解得：同理可得：所以结论：椭圆围成的矩形框内.位于直线练习1：填空说明椭圆位于

的矩形框里.(1)椭圆中,x的范围是

.y的范围是

.(2)椭圆4x2+25y2=100位于

的矩形框里.2.对称性

思考3:观察动画，说出椭圆具有怎样的对称性.结论：

在标准方程下，椭圆关于x轴、y轴都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心.结论：

在标准方程下，椭圆关于x轴、y轴都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心.思考4:怎样由椭圆的方程证明这种对称性？

在椭圆中以-y代y,方程不改变,说明P(x,y)在椭圆上时,同理,以-x代x,方程不改变,所以椭圆关于y轴对称;以-x代x,以-y代y,方程也不改变,椭圆关于原点中心对称.它关于x轴的对称点P1(x,-y),也在椭圆上,所以椭圆关于x轴对称.

思考5:利用椭圆的标准方程,求椭圆与坐标轴交点的坐标.

3.顶点

分析:在椭圆的标准方程中

令x=0,得y2=b2,所以y=±b,所以B1(0,-b),B2(0,b).椭圆与对称轴的交点叫椭圆的顶点.线段A1A2叫做椭圆的长轴,长轴长为2;线段B1B2叫做椭圆的短轴,短轴长为2b.

、b分别叫做叫椭圆的长半轴长和短半轴长.令y=0,得x2=

2,所以x=±

,所以A1(-

,0),A2(,0).练习2：求椭圆的长轴长、短轴长和顶点坐标.顶点坐标：A1(-4，0)，A2(4，0)，

B1(0，-2)，B2(0，2)答案：长轴长2

=8，短轴长2b=4.4.离心率

思考6:

观察动画，指出e变化时椭圆的扁平程度.

我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示.因为

>c>o,所以0<e<1.e→1时,c→

,→0.椭圆变扁.e→0时,c→0,→

.椭圆接近圆.e=0时,c=0,b=

.椭圆变为圆.即

思考7:能不能刻画椭圆的扁平程度.

大小扁圆圆扁所以都能刻画椭圆的扁平程度.b不变,c变大时,变

.椭圆变

.b不变,c变小时,变

.椭圆接近

.

不变，b变大时，椭圆变

.

不变，b变小时，椭圆变

.

思考8:能不能运用三角函数的知识解释,为什么离心率越大椭圆越扁；离心率越小椭圆越圆.e越大，sinθ越大，

θ越大，椭圆越扁.e越小，sinθ越小，θ越小，椭圆越圆.练习3：求椭圆的离心率e1,和椭圆的离心率e2,并判定哪个更接近圆.分析：更接近圆.例：求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.离心率,焦点F1(-3,0),F2(3,0)顶点A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4),B2(0,4)答案：长轴长2

=10,短轴长2b=8,方程图形范围对称性顶点离心率关于X,y轴、坐标原点对称关于X,y轴、坐标原点对称小结“用代数的方法研究曲线的性质”是解析几何的基本思想方法.范围顶点离心率对称性已知椭圆达标练习：(1)讨论它的范围,并画出草图;(2)求它的长轴长和短轴长,离心率,焦点坐标和顶点坐标.答案：(1)椭圆位于直线x=±5,y=±3围成的矩形框内.顶点坐标：A1(-5，0)，A2(5，0)，

B1(0，-3)，B2(0