高中数学北师大版1第二章空间向量与立体几何从平面向量到空间向量 第2章

§1从平面向量到空间向量1．了解空间向量的有关概念．(重点)2．理解直线的方向向量和平面的法向量．(难点)3．会求简单空间向量的夹角．(易混点)[基础·初探]教材整理1空间向量的概念阅读教材P25“向量概念”的部分，完成下列问题．定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法①用有向线段eq\o(AB,\s\up12(→))表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模与平面向量一样，空间向量eq\o(AB,\s\up12(→))或a的大小也叫作向量的长度或模，用|eq\o(AB,\s\up12(→))|或|a|表示夹角定义如图，两非零向量a，b，过空间中任意一点O，作向量a，b的相等向量eq\o(OA,\s\up12(→))和eq\o(OB,\s\up12(→))，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围规定0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，向量a与b垂直，记作a⊥b向量平行当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)0向量是长度为0，没有方向的向量．()(2)向量a与向量b的大小相等则a＝b.()(3)若向量a与向量b方向相反，则a与b是平行向量．()【解析】(1)0向量的方向是任意的．(2)a＝b需满足两个条件，一是大小相等，二是方向相同．(3)相反向量也是平行向量．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2向量与直线阅读教材P26“向量与直线”的部分，完成下列问题．设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq\o(AB,\s\up12(→))为直线的方向向量，与eq\o(AB,\s\up12(→))平行的任意非零向量a也是直线的方向向量．正方体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点为端点的向量中，可以作为直线AC的方向向量的有哪些？【解】∵A1C1∥AC，∴直线AC的方向向量有eq\o(AC,\s\up12(→))、eq\o(CA,\s\up12(→))、eq\o(A1C1,\s\up12(→))、eq\o(C1A1,\s\up12(→))教材整理3向量与平面阅读教材P26“向量与平面”的部分，完成下列问题．如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．平面的法向量与平面中任意一个向量的夹角是________．【解析】平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夹角为90°.【答案】90°[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________[小组合作型]空间向量的有关概念(1)在如图2­1­1所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量eq\o(AA1,\s\up12(→))相等的向量有________个(不含eq\o(AA1,\s\up12(→)))．图2­1­1【自主解答】与向量eq\o(AA1,\s\up12(→))相等的向量为：eq\o(BB1,\s\up12(→))，eq\o(CC1,\s\up12(→))，eq\o(DD1,\s\up12(→))共有3个．【答案】3(2)下列说法中，正确的是()A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(CD,\s\up12(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．零向量与任意向量平行【自主解答】A项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同．B项错，若eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(CD,\s\up12(→))共线，则eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(CD,\s\up12(→))的基线平行或重合，所以A，B，C，D不一定在同一条直线上．C项错，若b＝0，a∥0，0∥c，则a与c不一定平行，D项正确．【答案】D(3)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点为起止点的向量中，与向量eq\o(AB,\s\up12(→))平行的向量为________，与eq\o(AB,\s\up12(→))相反的向量为________．【自主解答】∵AB∥A1B1∥DC∥D1C1，∴与eq\o(AB,\s\up12(→))平行的向量为eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))其中与eq\o(AB,\s\up12(→))相反的向量为：eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))【答案】eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))1．在空间中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样．2．注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念．直线的方向向量与平面的法向量如图2­1­2，正方体ABCD­A1B1C1D1(1)以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有哪些？(2)在所有棱所在的向量中，写出平面ABCD的所有法向量．【导学号：32550020】图2­1­2【精彩点拨】根据方向向量与法向量的定义直接写出即可．【自主解答】(1)直线AB的方向向量有：eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→)).(2)平面ABCD的法向量，就是与平面ABCD垂直的棱所在的向量，即eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(A1A,\s\up12(→))，eq\o(BB1,\s\up12(→))，eq\o(B1B,\s\up12(→))，eq\o(CC1,\s\up12(→))，eq\o(C1C,\s\up12(→))，eq\o(DD1,\s\up12(→))，eq\o(D1D,\s\up12(→)).1．直线的方向向量就是与直线平行的非零向量对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的．2．找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是成面面垂直关系．[再练一题]1．根据本例的条件，写出平面BCC1B1的所有法向量．【解】平面BCC1B1的法向量为eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→)).[探究共研型]空间向量的特征探究1空间向量与平面向量有什么关系？【提示】空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．探究2直线的方向向量与平面的法向量只有一个吗？【提示】直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．探究3如何求两个空间向量的夹角？向量角与平面角有什么区别？【提示】与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝eq\f(π,4)，而〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CA,\s\up12(→))〉＝eq\f(3π,4).在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC(1)〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(A1C1,\s\up12(→))〉，〈eq\o(A1C1,\s\up12(→))，eq\o(FE,\s\up12(→))〉；(2)〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉，〈eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(AD1,\s\up12(→))〉．【精彩点拨】依据图形特点，找到向量对应直线的位置关系即可求解：【自主解答】(1)如图，连接AC.∵EF分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.∴eq\o(EF,\s\up12(→))∥eq\o(A1C1,\s\up12(→))，且方向相同，∴〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(A1C1,\s\up12(→))〉＝0°；eq\o(A1C1,\s\up12(→))∥eq\o(FE,\s\up12(→))，且方向相反，∴〈eq\o(A1C1,\s\up12(→))，eq\o(FE,\s\up12(→))〉＝180°.(2)∵在正方形ABCD中，AB⊥BC，∴〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉＝90°；∵A1B1⊥平面A1ADD1，又AD1⊂平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1，∴〈eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(AD1,\s\up12(→))〉＝90°.1．求空间向量夹角的关键是平移向量，使它们的起点相同．在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)通过平移找角，(2)在三角形中求角．2．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．[再练一题]2．在正四面体ABCD中，(1)向量eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(BA,\s\up12(→))的夹角为________；(2)向量eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))的夹角为________．【解析】(1)∵eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(BA,\s\up12(→))方向相反．∴eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(BA,\s\up12(→))的夹角为180°(2)∵AB⊥CD，∴eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))的夹角为90°【答案】(1)180°(2)90°[构建·体系]1．下列有关空间向量的说法中，正确的是()A．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等C．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量【解析】相等向量要求模相等且方向相同，故A和B错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C错误．D显然正确．【答案】D2．已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是()A．a0＝b0 B．a0＝1C．a0，b0共线 D．|a0|＝|b0|【解析】单位向量的模为1，故|a0|＝|b0|＝1【答案】D3．下列说法中不正确的是()A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量【解析】A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．【答案】D4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，当l∥α时，一定有____(填a与b的位置关系)．【导学号：32550021】【解析】∵l∥α，b⊥α，∴a⊥b.【答案】a⊥b5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1(1)〈eq\o(B1C,\s\up12(→))，eq\o(AA1,\s\up12(→))〉；(2)〈eq\o(CA,\s\up12(→))，eq\o(DA1,\s\up12(→))〉．【解】(1)如图，因为eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(BB1,\s\up12(→))，所以将eq\o(AA1,\s\up12(→))平移至eq\o(BB1,\s\up12(→))处，则〈eq\o(B1C,\s\up1