高中数学苏教版第一章三角函数单元测试 2023版第1章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①正角、负角和零角②弧长③扇形面积④正弦⑤余弦⑥正切任意角的三角函数概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sinα＋cos(2)函数y＝eq\r(sinx)＋eq\r(2cosx－1)的定义域是________．【精彩点拨】(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．(2)利用三角函数线求解．【规范解答】(1)r＝|OP|＝eq\r(－4m2＋3m2)＝5|m|.当m>0时，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3m,5m)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4m,5m)＝－eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝eq\f(2,5).当m<0时，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3m,－5m)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4m,－5m)＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).故2sinα＋cosα的值是eq\f(2,5)或－eq\f(2,5).如图，结合三角函数线知：解得2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).【答案】(1)eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))[再练一题]1.若θ是第四象限角，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号．【解】∵θ为第四象限角，∴0＜cosθ＜1＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜－1＜sinθ＜0.∴sin(cosθ)＞0，cos(sinθ)＞0.∴sin(cosθ)·cos(sinθ)＞0.同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”已知cosθ＝m，|m|≤1，求sinθ、tanθ的值．【导学号：48582066】【精彩点拨】以角θ的终边所在位置为依据分别讨论求解．【规范解答】(1)当m＝0时，θ＝2kπ±eq\f(π,2)，k∈Z；当θ＝2kπ＋eq\f(π,2)时，sinθ＝1，tanθ不存在；当θ＝2kπ－eq\f(π,2)时，sinθ＝－1，tanθ不存在．(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.(3)当θ在第一、二象限时，sinθ＝eq\r(1－m2)，tanθ＝eq\f(\r(1－m2),m).(4)当θ在第三、四象限时，sinθ＝－eq\r(1－m2)，tanθ＝－eq\f(\r(1－m2),m).[再练一题]2.已知eq\f(sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))tan－π－θ)＝1，则sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ的值是________．【解析】由已知得eq\f(sinθ·tanθ·－tanθ,sinθ·－tanθ)＝1，即tanθ＝1，于是sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋3tanθ＋2,tan2θ＋1)＝3.【答案】3三角函数的图象与性质三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π.(2)对于y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a，a为常数．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最小值为－2，求a的值．【精彩点拨】eq\x(利用公式T＝\f(2π,|ω|)求周期)→eq\x(整体代换求单调区间)→eq\x(由最值求a)【规范解答】(1)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．(3)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以x＝0时，f(x)取得最小值，即2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋a＝－2，故a＝－1.[再练一题]3.如图1­1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的部分图象．图1­1(1)求此函数的解析式；(2)分析该函数的图象是如何通过y＝sinx的图象变换得来的．【解】(1)由图象知，A＝eq\f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝eq\f(1,2)，k＝eq\f(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝－1，T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝eq\f(1,2)sin(2x＋φ)－1.当x＝eq\f(π,6)时，2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴所求函数的解析式为y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.(2)把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,6)个单位，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的eq\f(1,2)，得到y＝eq\f(1,2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，最后把函数y＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(π,6)的图象向下平移1个单位，得到y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1的图象．数形结合思想数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一个周期内的简图如图1­2所示，求函数g(x)＝f(x)－lgx零点的个数．图1­2【精彩点拨】eq\x(识图)→eq\x(求A，ω，φ)→eq\x(画出fx及y＝lgx的图象)→eq\x(下结论)【规范解答】显然A＝2.由图象过(0，1)点，则f(0)＝1，即sinφ＝eq\f(1,2)，又|φ|＜eq\f(π,2)，则φ＝eq\f(π,6).又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是图象上的点，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)ω＋\f(π,6)))＝0，由图象可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．∴eq\f(11π,12)ω＋eq\f(π,6)＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).在同一坐标系中作函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))和函数y＝lgx的示意图如图所示：∵f(x)的最大值为2，令lgx＝2，得x＝100，令eq\f(11,12)π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而eq\f(11,12)π＋31π＞100，∴在区间(0，100]内有31个形如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,12)π＋kπ，\f(17,12)π＋kπ))(k∈Z，0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lgx的图象都有2个交点，故这两个函数图象在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，100))上有2×31＝62个交点，另外在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(11,12)π))上还有1个交点，∴方程f(x)－lgx＝0共有实根63个，∴函数g(x)＝f(x)－lgx共有63个零点．[再练一题]4.若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ≥\f(1,2)，0≤θ≤π))))，，求M∩N.【导学号：48582067】【解】首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y＝eq\f(1,2)的图象，如图①②.结合图象得集合M，N分别为：M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤θ≤\f(5π,6)))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤θ≤π)))).得M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤θ≤\f(5,6)π)))).1．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝________.【解析】因为角α的终边经过点(－4，3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5).【答案】－eq\f(4,5)2.若将函数y＝2sin2x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【解析】将函数y＝2sin2x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到函数y＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象．由2x＋eq\f(π,6)＝kx＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．【答案】x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)3.若sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第四象限角，则tanα的值等于________．【解析】法一：因为α为第四象限的角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).法二：因为α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(5,13)，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(5,12).【答案】－eq\f(5,12)4.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图1­3所示，则f(x)的单调递减区间为________．图1­3【解析】由图象知，周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(1,4)))＝2，∴eq\f(2π,ω)＝2，∴ω＝π.由π×eq\f(1,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,4))).由2kπ<πx＋eq\f(π,4)<2kπ＋π，得2k－eq\f(1,4)<x<2k＋eq\f(3,4)，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z.【答案】eq\b