高中数学人教A版2本册总复习总复习 优秀

3．数系的扩充和复数的相关概念eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．虚数单位i.(1)它的平方等于－1，即i2＝－1．(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．2．复数的代数形式．(1)形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a＋bi叫做复数的代数形式，a和b分别叫做复数z的实部和虚部．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类．复数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0）,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（a＝0，且b≠0）,非纯虚数（a≠0，b≠0）))))3．复数相等的充要条件．复数a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d(把复数问题划归为实数问题)．,eq\x(基)eq\x(础)eq\x(自)eq\x(测)1．复数(2＋eq\r(3))i的实部是(D)A．2\r(3)C．2＋eq\r(3)D．0解析：复数(2＋eq\r(3))i的实部是0，故选D.2．如果C，R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，那么有(D)A．C＝R∪IB．R∩I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝Ø解析：复数系的构成是：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0时）,虚数（b≠0时）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（a＝0时）,非纯虚数（a≠0时）))))由此不难得到答案应为D.3．下列命题：①i是－1的一个平方根；②－i是一个负数；③如果a＋bi＝3＋4i(a、b∈C)，则a＝3，b＝4.其中正确的命题的个数是________________________________________________________________________．解析：由复数的定义和性质知②错，③错，①对．答案：1个eq\a\vs4\al(（一）虚数单位i及其性质)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，它的平方等于－1，它可以与实数进行四则运算．eq\a\vs4\al(（二）复数的代数形式和复数的分类)(1)复数的代数形式z＝a＋bi要求a和b必须是实数，否则不是代数形式．(2)若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)形如z＝bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0，b∈R时，才是纯虚数，否则不是纯虚数．eq\a\vs4\al(（三）复数相等的概念)(1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别相等，它是把复数问题转化为实数问题的主要手段．(2)应用复数相等的充要条件时，首先要把“＝”左右两边的复数形式写成代数形式，即分离实部和虚部，然后列出方程求解．注意：(1)根据复数相等的定义，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不相等，则a＋bi≠c＋di.(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小．反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数(如a＋bi＞0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＝0)))(3)若两个数不全是实数，则不能比较大小．1．虚数单位i具有两条性质：(1)它的平方等于－1，即i2＝－1.(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立．2．关于复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，注意以下几点：(1)a，b∈R，否则不是代数形式．(2)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数．反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)形如bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数．3．两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小．关于这一点的理解要注意以下几点：(1)根据复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的定义，可知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．1．(2023·广州一模)已知i是虚数单位，则复数1－2i的虚部为(D)A．2B．1C．－1D．－22．若复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数，则实数x的值为(A)A．－1B．0C．1D．－1或13．若x，y∈R，且3x＋y＋3＝(x－y－3)i，则x＝______，y＝______．解析：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＋3＝0，,x－y－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3.))答案：0－34．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求实数m的值．解析：因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－1＞0，,m2－2m＝0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞1或m＜－1，,m＝0或m＝2))⇒m＝2.∴m＝2时，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0.1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z∈R的充要条件是(A)A．a＋b＝a－biB．a＋bi＝－a＋biC．ab＝0D．a＝b＝02．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为(A)A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝03．(eq\r(3)－1)i的实部是(D)\r(3)B．1C．－1D．04．i是虚数单位，1＋i3等于(D)A．iB．－iC．1＋iD．1－i5．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i，a∈R，i是虚数单位}，若A⊆R，则a＝(C)A．1B．－1C．±1D．06．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件解析：“ab＝0”则a＝0或b＝0，“复数a－bi为纯虚数”则a＝0且b≠0，那么“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.7．m＝________时，复数lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是实数．答案：－28．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x＝________．解析：由于含有虚部的复数不能比较大小，所以虚部必须为0且x有定义，故有x2－3x－2＞0且x2＋2x＋1＝1，得x＝－2，有log28＝3＞1，显然成立，故x＝－2.答案：－29．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{1，－1，4i}，若M∪P＝P，求实数m.解析：∵M∪P＝P，∴M⊆P.∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.若(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，则m＝1.若(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，则m＝2.经检验，m＝1或m＝2都符合题意．∴m＝1或m＝2.10．已知，关于实数x，y的方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，①,（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i②))有实数解，求实数a，b.解析：根据复数相等的充要条件有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－（3－y），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))(*)将(*)代入②式，得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋4a＝9，,6＋b＝8，))解得a＝1，b