高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语单元测试 全国获奖

第十三讲简易逻辑（AB版）一．知识梳理：1．四种命题的关系（1）原命题为真（假），其逆命题不一定为真（假）；（2）原命题为真（假），其否命题不一定为真（假）；（3）原命题为真（假），其逆否命题一定为真（假）；（4）若命题的逆命题为真（假）时，其否命题一定为真（假）（两者互为逆否命题）如图所示，根据互为逆否命题的两个命题的真值相同，可知四种命题中实质不同的命题只有原命题和逆命题两类，另外两类只是它们的不同表示形式．2．充分条件、必要条件、充要条件(1)．定义如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．(2)．从逻辑推理关系上看①若且，则是的充分不必要条件；②若且，则是的必要不充分条件；③若且，则是的的充要条件；④若且，则不是的的充分条件，也不是的必要条件．3．简单的逻辑联结词（1）一般地，用联结词“且”把命题和联结起来，得到一个新命题，记作，读作“且”（2）一般地，用联结词“或”把命题和联结起来，得到一个新命题，记作，读作“或”（3）一般地，对一个命题否定，得到一个新命题，记作,读作“非”或“的否定”．逻辑联结词的真值规律如表所示．口诀：（1）“且”，一假则假，全真才真；（2）“或”，一真则真，全徦才假；（3）“”，真假相对．4．全称量词与存在量词（1）全称量词与存在量词，短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与特称量词，短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中的元素，使成立”（特称命题也叫存在性命题）二．高考链接1．（15年天津理科）设，则“”是“”的（）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分条件与必要条件．2．(15年浙江理科)命题“的否定形式是（）．A．且 B．或C．且 D．或【答案】：D3．（15年湖南理科）设,是两个集合，则””是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C．【解析】试题分析：由题意得，，反之，，故为充要条件，选C．考点：集合的关系．4．（15年山东理科）若“”是真命题，则实数的最小值为．【解析】：“”是真命题，则，于是实数的最小值为1．三．典例分析题型一．四种命题及真假关系【例1】命题：是函数图象的一条对称轴；：是的最小正周期，下列复合命题：①；②；③非；④非，其中真命题有()．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】：由于命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，非p是真命题，非q是假命题，因此①②③④中只有①③为真．【答案】：C 【变式1】(2023·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()．A．(p)∨(q) B．p∨(q) C．(p)∧(q) D．p∨q【解析】命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A．或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A．【例2】(2023·安徽“江南十校”联考)命题：若，则a与b的夹角为锐角；命题：若函数在及及上都是减函数，则在上是减函数．下列说法中正确的是()．A．“或”是真命题 B．“或”是假命题C．非为假命题 D．非为假命题【解析】当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))所以“p或q”是假命题，选B．【答案】B 【变式1】(2023·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是()．使 B．，函数都不是偶函数C．，使是幂函数，且在上单调递减D．，函数有零点【解析】对于A，当α＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立；对于B，当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝eq\f(1,x)，满足条件；对于D，令lnx＝t，∀a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B．【变式2】1．(2023·天津，5)下列命题中，真命题是()．A．，使函数是偶函数B．，使函数是奇函数C．，函数都是偶函数D．，函数都是奇函数【答案】A【解析】当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故A正确．因为y＝x2是偶函数，所以f(x)＝x2＋mx不可能是奇函数，故B错．当m＝1时，f(x)＝x2＋x是非奇非偶函数，故C、D错． 【变式3】(2023·湖南，2)下列命题中的假命题是()．， B．，C．， D．,【答案】C【解析】对于A选项，∵lgx＝0，∴x＝1，为真命题；对于B选项，∵tanx＝1，∴x＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，为真命题；对于C选项，∵x3>0，∴x>0，为假命题；对于D选项，∵2x>0，∴x∈R，为真命题，故选C．【例3】(2023·胶州三中检测)命题：“若，则”的逆否命题是()．A．若，则或 B．若，且，则C．若，则 D．若，或，则【答案】D【例4】（2023•湛江一模）设命题：“若对任意，，则”；命题：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使”，则（）．A．为真命题 B．为假命题 C．为假命题 D．为真命题解答：【解析】：因为|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣因为，所以==所以A、B、C三点共线，反之，A、B、C三点共线，所以存在λ，μ使得其中λ+μ=1所以存在α使得λ=sin2α>0，μ=cos2α>0所以存在角α，使”，为必要不充分条件所以命题q为假命题，所以￢p∧q为假命题，故选C．题型二．充分必要条件判断【例5】(2023·山东)对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的()．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B．【答案】B【变式1】（上海市嘉定2023届高三一模）已知，，则“”是“在R上恒成立”的()．A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】f(x)≥g(x)x2–2x+3≥kx–1x2–(2+k)x+4≥0，此式对任意实数x都成立△=(2+k)2-16≤0-4≤k+2≤4-6≤k≤2，而“|k|≤2”是“-6≤k≤2”的充分不必要条件，故选A．【变式2】已知是两个非零向量，给定命题，命题使得，则是的()条件．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（15北京理科）设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的()．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件．考点：1．空间直线与平面的位置关系；2．充要条件．B组【例6】定义：若对定义域上的任意实数都有，则称函数为上的零函数．根据以上定义，“是上的零函数或是上的零函数”为“与的积函数是上的零函数”的________条件．【解析】设D＝(－1,1)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈－1，0]，,x，x∈0，1，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈－1，0]，,0，x∈0，1，))显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D上的零函数，但f(x)与g(x)都不是D上的零函数．答案充分不必要【变式1】设，则“”是“”的()条件．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（15年安徽文科）设，，则是成立的()．A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C．考点：充分必要条件的判断．【变式3】（15年陕西理科）“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．题型三．参数范围【例7】(2023·江西六校联考)已知命题都有”．命题，使得成立”，若命题“”是真命题，则实数的取值范围为()． B． C． D．【解析】若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2．命题“p∧q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1．【答案】C【变式1】已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根．若“”为真，“”为假，求实数的取值范围．【解析】若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4＞0，,m＞0，))解得m＞2，即命题p：m＞2．若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．因“p∨q”为真，所以p，q至少有一个为真，又“p∧q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞2，,m≤1或m≥3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,1＜m＜3.))解得：m≥3或1＜m≤2，即实数m的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2]．A组【变式2】已知命题：“，使”为真命题，则的取值范围是()．A． B． C． D．【变式3】已知命题，，命题，恒成立，若为假命题，则实数的取值范围是()．A． B． C． D．【变式4】设，一元二次方程有整数根的充要条件是()．A．3 B．4 C．3或4 D．1或3或4 【例8】已知，设命题：函数为减函数．命题：当时，函数恒成立．如果“或”为真命题，“且”为假命题，求的取值范围．【解析】由命题p为真知，0<c<1，由命题q为真知，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，要使此式恒成立，需eq\f(1,c)<2，即c>eq\f(1,2)，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0<c≤eq\f(1,2)；当p假q真时，c的取值范围是c≥1．综上可知，c的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|0<c≤\f(1,2)或c≥1))．B组【变式1】(2023·锦州月考)命题：关于的不等式2对一切恒成立，：函数是增函数，若或为真，且为假，求实数的取值范围．【解析】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2．又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴3－2a＞1，∴a＜1．又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1)若p真q假，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＜a＜2，,a≥1，))∴1≤a＜2；(2)若p假q真，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－2或a≥2，,a＜1，))∴a≤－2．综上可知，所求实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)．【变式2】已知命题：函数在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立．若是真命题，求实数的取值范围．【解】：命题P函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；∴0<a<1．又∵命题Q不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立；∴a＝2或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4a－22＋16a－2<0，))即－2<a≤2．∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2<a≤2B组【变式3】已知命题：关于的不等式的解集是，命题：函数的定义域为R，如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【解析】由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－4a2＜0，))解得a＞eq\f(1,2)． 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，当p假，q真时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a＞\f(1,2)))⇒a＞1；当p真，q假时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,a≤\f(1,2)))⇒0＜a≤eq\f(1,2)．综上，知实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)．【例9】设：函数在区间上单调递增；，如果“”是真命题，“或”也是真命题，求实数的取值范围．解析：在区间（4，+∞）上递增，在（4，+∞）上递增，故 …………（3分）由 …………（6分）如果“”为真命题，则为假命题，即 …………（8分）又因为为真，则为真，即由可得实数的取值范围是 …………（12分）B组【变式1】设命题，命题：对任何，都有成立，命题且为假，或为真，则实数的取值范围是________．【答案】－eq\f(1,2)<a≤0或eq\f(1,2)≤a<1【解析】若命题p为真，则0<a<1．若命题q为真，则Δ＝16a2－4<0，－eq\f(1,2)<a<eq\f(1,2)．由命题p且q为假，p或q为真，可知p、q一真一假．当p真q假时eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,a≤－\f(1,2)或a≥\f(1,2)))，所以eq\f(1,2)≤a<1．当p假q真时eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1,－\f(1,2)<a<\f(1,2)))，所以－eq\f(1,2)<a≤0．综上，实数a的取值范围是－eq\f(1,2)<a≤0或eq\f(1,2)≤a<1．B组【例10】命题关于的不等式，对一切恒成立，指数函数是增函数．若或为真，且为假，求实数的取值范围．【变式1】已知命题关于的不等式的解集为，命题函数为增函数．若命题为真命题，则实数的取值范围．【变式2】给定两个命题：对任意实数，都有恒成立．关于的方程有实数根．如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．【变式3】已知，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．题型四．全称命题的否定【例11】(2023·辽宁)已知命题，则非为()．A． B．C．, D．,【解析】特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则非p：∀x∈M，非p(x)．故选A．【答案】A【变式1】命题“对任意的”的否定是()．A． B．C． D．【变式2】（15年新课标1理科）设命题P：，，则为（）．A．, B．,C．, D．,=【答案】C【解析】:，故选C．【例12】（安徽省宣城市6校2023届高三联合测评考）已知定义域为的函数不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】奇函数定义是一个全称命题,当该命题为假时,其否命题必为真． 【变式1】(2023·北京海淀模拟)已知命题：，，那么下列结论正确的是()．A．：， B．：，C．：， D．：，【答案】B【解析】存在性(特称)命题的否定是任意性(全称)命题．故选B．【变式2】（2023•瑶海区校级一模）“若且，则全为”的否命题是（）．A．若且，则全不为B．若且，则不全为C．若且x，y全为，则D．若且，则解答：【解析】：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设“若x，y∈R且x2+y2≠0”，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论“则x，y不全为0”．由此得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0．故选B．题型五．综合【例13】(2023·山西四校联考)下列有关命题的说法正确的是 ()．A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“，使得”的否定是“，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题【解析】对于A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此选项A不正确；对于B，由x＝－1得x2－5x－6＝0，因此x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，选项B不正确；对于C，命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1≥0”，因此选项C不正确；对于D，命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，因此它的逆否命题为真命题，选项D正确．故选D．【变式1】下列结论：①若命题，；命题，．则命题“”是假命题；②已知直线，，则的充要条件是；③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”．其中正确结论的序号为()．A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【变式2】(2023·辽宁大连)下列说法错误的是()．A．已知命题为“若，则”，则为“若，则”B．若为假命题，则、均为假命题C．的一个充分不必要条件是D．“全等三角形的面积相等”的逆否命题是假命题【答案】D【解析】A、B、C均正确，D中“全等三角形的面积相等”为真命题，故其逆否命题为真命题，故选D．【变式3】(2023·浙江杭州质检)下列命题中正确的是()．A．设，则，必有B．，使得C．设，则函数是奇函数D．设，则【答案】C【解析】∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,12)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))上单调递减，∴A错；eq\f(1,2)sinx0＋eq\f(\r(3),2)cosx0＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,3)))≤1，故B不正确；y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－sinx，为奇函数，故C正确；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f