高中数学苏教版第二章平面向量单元测试 同课异构

2．5向量的应用情景：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．思考：你能从数学的角度解释这种现象吗？1．用向量解答物理问题的模式．①建模，______________________________________________.②解模，_______________________________________________.③回答，_______________________________________________.答案：①把物理问题转化成数学问题②解答得到的数学问题③利用解得的数学答案解释物理现象2．力、速度、加速度、位移都是________，它们的合成与分解就是________．答案：向量向量的加减法3．功的定义即是力F与其所产生位移s的________．答案：数量积4．平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可由____________________表示出来．答案：向量的线性运算及数量积5．向量方法解决平面几何问题的“三部曲”．(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面____________________．(2)通过________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、平行等．(3)把运算结果________成几何关系．答案：(1)几何问题转化为向量问题(2)向量运算(3)“翻译”6．常见到的问题包括以下命题：(1)求线段的长度或证明线段相等，可利用_________________________________________________________．(2)证明垂直或涉及垂直问题，常用__________________________________________________________．(3)线段平行或涉及共线问题，常用__________________________________________________________．(4)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式________，有时要用到投影的几何意义．答案：(1)向量的线性运算，向量模(2)向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)(3)向量平行(共线)的等价条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))7．直线l的方程：ax＋by＋c＝0.若n＝(－b，a)．则向量n与直线l的关系为________．若v＝(a，b)，则向量v与直线l的关系为________．答案：n∥lv⊥l向量在物理中的应用1．问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．2．模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．3．参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．4．问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．向量在平面几何中的应用1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．3．把运算结果“翻译”成几何关系．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．过点A(2014，2015)且垂直于a＝(－1，1)的直线方程为________．答案：x－y＋1＝02．设△ABC的顶点A(0，0)，B(3，1)，C(6，5)，则重心G的坐标是________．答案：(3，2)3．如右图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.则对角线AC长为________．答案：eq\r(6)4．一只鹰正以水平向下30°角的方向飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上影子的速度是40米/秒，则鹰的飞行速率约为________(精确到个位)．答案：46米/秒5．用两条成60°角的绳索拉一辆车．每条绳索上的拉力是12N，则合力为________(精确到N)．答案：N6．P为△ABC所在平面内一点，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC＝________．解析：由已知得：2eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PC,\s\up6(→)).∴P为AC的三等份点．∴S△ABC∶S△PBC＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)7．已知A(2，1)、B(3，2)、C(－1，4)，则△ABC的形状是________．答案：直角三角形8．在△ABC中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是________．答案：等边三角形9．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，则△ABC的形状为________．答案：等边三角形10．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5，1)，则共点力所做功W＝________J.解析：∵F1＋F2＝(lg2，lg2)＋(lg5，lg2)＝(1，2lg2)．∴ω＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2(J)．答案：211．两个粒子a、b从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4，3)，vb＝(2，10)．(1)写出此时粒子b相对粒子a的位移v；(2)计算v在va方向上的投影．解析：(1)v＝vb－va＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)|v|·cos〈v，va〉＝eq\f(v·va,|va|)＝eq\f(（－2，7）·（4，3）,\r(32＋42))＝eq\f(－8＋21,5)＝eq\f(13,5).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)12．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且AB＝1，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________．解析：∵圆x2＋y2＝1的半径为1，AB＝1，∴△AOB为正三角形．∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．平面内A(2，1)，B(1，2)，O为坐标原点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，λ，μ∈R且λ＋μ＝1，则点P的轨迹方程是________________．解析：设P(x，y)，由λ＋μ＝1，∴A、B、P三点共线，故点P轨迹是一直线，方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝014．已知m＝(cosα，sinα)，n＝(cosβ，sinβ)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α，β∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，且|m＋n|＝|m－n|，则tanα·tanβ＝________．解析：∵|m＋n|＝|m－n|，∴(m＋n)2＝(m－n)2，即：m·n＝0.∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0⇒cosαcosβ＝－sinαsinβ.∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴tanα·tanβ＝－1.答案：－115．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD形状是________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))⇒四边形ABCD为平行四边形，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0⇒AB⊥BC，故四边形ABCD为矩形．答案：矩形16．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m、n∈R)，则eq\f(m,n)等于________．解析：|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，且∠AOC＝30°.设点A坐标为(1，0)，点B坐标为(0，eq\r(3))，点C坐标为(x，y)且y＝eq\f(\r(3),3)x，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，∴m＝x，n＝eq\f(\r(3),3)y＝eq\f(1,3)x.∴eq\f(m,n)＝3.答案：317．如下图所示，设I是△ABC的内心，当AB＝AC＝5，且BC＝6时，eq\o(AI,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＝____________，μ＝________．解析：设AI交BC于点D，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴D为BC的中点．∴BD＝3.∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABD.在△ABE与△DBI中，eq\f(AE,ID)＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(5,3)，又∵∠BID＝∠AEI＝∠AIE，∴AE＝AI.又∵ID＝AD－AI，∴AI＝eq\f(5,8)AD.即eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)eq\o(AD,\s\up6(→))，又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(5,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,16)eq\o(BC,\s\up6(→)).∴λ＝eq\f(5,8)，μ＝eq\f(5,16).答案：eq\f(5,8)eq\f(5,16)18．设集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f，满足对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R，且λ≠0)．若|a|＝|b|，且a，b不共线，则[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝________；若A(1，2)，B(3，6)，C(4，8)，且f(eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则λ＝________．解析：∵|a|＝|b|，且a，b不共线，∴[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝(λa－λb)·(a＋b)＝λ(|a|2－|b|2)＝0.又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，2)，∴f(eq\o(BC,\s\up6(→)))＝λ(1，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)．∴λ＝2.答案：0219．连接直角三角形的顶点与斜边的两个三等分点，所得两条线段长是sinα和cosα，求直角三角形的斜边长．解析：如图所示，以直角三角形的两直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，D，E为AB的两个三等分点，OD＝sinα，OE＝cosα.设A(a，0)，B(0，b)，F为AB的中点，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(2,3)b))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(b,3)))，且OF＝eq\f(1,2)AB.∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(a,3)×eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b×eq\f(b,3)＝eq\f(2,9)(a2＋b2)，且AB＝eq\r(a2＋b2).又∵eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝|eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(（\o(OD,\s\up6(→))＋\o(OE,\s\up6(→))）2))＝eq\r(\o(OD,\s\up6(→))2＋\o(OE,\s\up6(→))2＋2\o(OD,\s\up6(→))·\o(OE,\s\up6(→))).又∵OD＝sinα，OE＝cosα，∴eq\r(a2＋b2)＝eq\r(1＋\f(4,9)（a2＋b2）)，即a2＋b2＝eq\f(9,5).∴AB＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f(3,5)eq\r(5).20．如右图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解析：设eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ，μ，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，由基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))故eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，即AP∶PM＝4∶1.21．已知对任意平面向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)，把eq\o(AB,\s\up6(→))绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝(xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.(1)已知平面内点A(1，2)，点B(1＋eq\r(2)，2－2eq\r(2))．把点B绕点A沿顺时针方向旋转eq\f(π,4)后得到点P，求点P的坐标；