高中数学人教A版2第四章框图模块综合测评2

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是()A．①②③ B．①②C．②③ D．①③④【解析】曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．【答案】D2．(2023·山东高考)若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得eq\x\to(z)＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.【答案】A3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为()【导学号：19220233】A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【解析】大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．【答案】A4．如图1所示的知识结构图为什么结构()图1A．树形 B．环形C．对称性 D．左右形【解析】由题图可知结构图为树形结构．【答案】A5．(2023·陕西高考)根据右边框图，当输入x为2006时，输出的y＝()图2A．2 B．4C．10 D．28【解析】x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.【答案】C6．(2023·吉林高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()\o(y,\s\up6(^))＝＋4\o(y,\s\up6(^))＝＋5\o(y,\s\up6(^))＝＋\o(y,\s\up6(^))＝＋【解析】由题意可设回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，又样本点的中心(4,5)在回归直线上，故5＝×4＋a，即a＝，故回归直线的方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.【答案】C7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S­ABC的体积为V，则R＝()\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【答案】C8．(2023·南昌高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于()\f(2,n＋12) \f(2,nn＋1)\f(2,2n－1) \f(2,2n－1)【解析】∵a1＝1，Sn＝n2·an(n≥2)，∴a1＋a2＝22·a2，得a2＝eq\f(1,3)；由a1＋a2＋a3＝32·a3，得a3＝eq\f(1,6)；由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，得a4＝eq\f(1,10)；….猜想an＝eq\f(2,nn＋1).【答案】B9．(2023·临沂高二检测)若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位)，则p＋q的值是()A．－1 B．0C．2 D．－2【解析】把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，即2i＋p＋pi＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，∵p，q为实数，∴p＋q＝0.【答案】B10．(2023·西安高二检测)满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A．一条直线 B．两条直线C．圆 D．椭圆【解析】|z－i|＝|3－4i|＝5，∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．【答案】C11．(2023·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】C12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是()A．103 B．105C．107 D．109【解析】由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数．【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．(2023·上海高考)若复数z满足3z＋eq\x\to(z)＝1＋i，其中i为虚数单位，则z＝________.【解析】设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则eq\x\to(z)＝a－bi，a，b∈R,3z＋eq\x\to(z)＝4a＋2bi＝1＋i，a，b∈R，则a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)，故z＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)i.【答案】eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)i14．(2023·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图3所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天.【导学号：19220234】图3【解析】设工序c所需工时为x天．由题意知：按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)，按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)，故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.【答案】415．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2).运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.【解析】通过类比可得R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是eq\r(a2＋b2＋c2)，故这个长方体的外接球的半径是eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．【答案】eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)16．(2023·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查，y与x具有相关关系，回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，若A城市居民人均消费水平为(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.【导学号：19220235】【解析】因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，A城市居民人均消费水平为y＝，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x满足＝＋，所以x≈，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为eq\f,×100%≈83%.【答案】83%三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2beq\x\to(z)＝(a＋2z)2.【解】∵z＝1＋i，∴az＋2beq\x\to(z)＝(a＋2b)＋(a－2b)i，又∵(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a∵a，b都是整数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4a＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，b1＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝－4，b2＝2.))∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.18．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试判断晕机是否与性别有关？(参考数据：K2>时，有90%的把握判定变量A，B有关联；K2>时，有95%的把握判定变量A，B有关联；K2>时，有99%的把握判定变量A，B有关联．参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))【解】(1)2×2列联表如下：晕机不晕机总计男乘客282856女乘客285684总计5684140(2)根据列联表中的数据，得K2的观测值k＝eq\f(140×28×56－28×282,56×84×56×84)＝eq\f(35,9)≈>，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．19．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：20．(本小题满分12分)(2023·中山高二检测)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3.【证明】法一(分析法)：要证eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3，只需证明eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)－1＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)－1＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1>3，即证eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6，而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)>2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)>2.∴eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6，∴eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3得证．法二(综合法)：∵a，b，c全不相等，∴eq\f(b,a)与eq\f(a,b)，eq\f(c,a)与eq\f(a,c)，eq\f(c,b)与eq\f(b,c)全不相等，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)>2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)>2，三式相加得eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(c,a)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(c,b)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)＋\f(b,c)－1))>3，即eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3.21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x(单位：万元)1234销售收入y(单位：万元)12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【导学号：19220236】【解】(1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up15(^)).ixiyixeq\o\al(2,i)xiyi1112112222845633429126445616224于是eq\x\to(x)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(69,2)，代入公式得：eq\o(b,\s\up15(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(418－4×\f(5,2)×\f(69,2),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(73,5)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up15(^))eq\x\to(x)＝eq\f(69,2)－eq\f(73,5)×eq\f(5,2)＝－2.故y与