高中数学人教B版第二章平面向量 学业分层测评1

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的个数是()(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)非零向量的单位向量是唯一的. 【解析】(1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误.【答案】B2.下列结论正确的是()A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段eq\o(AB,\s\up13(→))和eq\o(BA,\s\up13(→))是同一向量D.有向线段eq\o(AB,\s\up13(→))和eq\o(BA,\s\up13(→))的大小相等【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段eq\o(AB,\s\up13(→))和eq\o(BA,\s\up13(→))的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.【答案】D3.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确的命题有()个 个个 个【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.【答案】A4.数轴上点A，B分别对应－1、2，则向量eq\o(AB,\s\up13(→))的长度是()A.－1 【解析】易知|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝2－(－1)＝3，故选D.【答案】D5.(2023·长春十一中期末)若|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AD,\s\up13(→))|且eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))，则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形【解析】由eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))知四边形为平行四边形；由|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AD,\s\up13(→))|知四边形ABCD为菱形.故选C.【答案】C二、填空题6.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up13(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up13(→))是共线向量，则m＝________.【解析】因为A，B，C三点不共线，所以eq\o(AB,\s\up13(→))与eq\o(BC,\s\up13(→))不共线，又因为m∥eq\o(AB,\s\up13(→))且m∥eq\o(BC,\s\up13(→))，所以m＝0.【答案】07.给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)【解析】共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小.很明显仅有①③④.【答案】①③④三、解答题是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图2­1­4所示的向量中：图2­1­4(1)分别找出与eq\o(AO,\s\up13(→))，eq\o(BO,\s\up13(→))相等的向量；(2)找出与eq\o(AO,\s\up13(→))共线的向量；(3)找出与eq\o(AO,\s\up13(→))模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up13(→))与eq\o(CO,\s\up13(→))是否相等？【解】(1)eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(BF,\s\up13(→))，eq\o(BO,\s\up13(→))＝eq\o(AE,\s\up13(→)).(2)与eq\o(AO,\s\up13(→))共线的向量有：eq\o(BF,\s\up13(→))，eq\o(CO,\s\up13(→))，eq\o(DE,\s\up13(→)).(3)与eq\o(AO,\s\up13(→))模相等的向量有：eq\o(CO,\s\up13(→))，eq\o(DO,\s\up13(→))，eq\o(BO,\s\up13(→))，eq\o(BF,\s\up13(→))，eq\o(CF,\s\up13(→))，eq\o(AE,\s\up13(→))，eq\o(DE,\s\up13(→)).(4)向量eq\o(AO,\s\up13(→))与eq\o(CO,\s\up13(→))不相等，因为它们的方向不相同.9.如图2­1­5所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(DC,\s\up13(→))且eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))，求证：eq\o(DN,\s\up13(→))＝eq\o(MB,\s\up13(→)).【导学号：72023041】图2­1­5【证明】因为eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(DC,\s\up13(→))，所以|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(DC,\s\up13(→))|且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以|eq\o(DA,\s\up13(→))|＝|eq\o(CB,\s\up13(→))|且DA∥CB.又因为eq\o(DA,\s\up13(→))与eq\o(CB,\s\up13(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→)).同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以eq\o(CM,\s\up13(→))＝eq\o(NA,\s\up13(→)).因为|eq\o(CB,\s\up13(→))|＝|eq\o(DA,\s\up13(→))|，|eq\o(CM,\s\up13(→))|＝|eq\o(NA,\s\up13(→))|，所以|eq\o(MB,\s\up13(→))|＝|eq\o(DN,\s\up13(→))|.又eq\o(DN,\s\up13(→))与eq\o(MB,\s\up13(→))的方向相同，所以eq\o(DN,\s\up13(→))＝eq\o(MB,\s\up13(→)).[能力提升]1.已知向量a，b是两个非零向量，eq\o(AO,\s\up13(→))，eq\o(BO,\s\up13(→))分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(BO,\s\up13(→)) \o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(BO,\s\up13(→))或eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→)) \o(AO,\s\up13(→))与eq\o(BO,\s\up13(→))的长度相等【解析】因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又eq\o(AO,\s\up13(→))与a同方向，eq\o(BO,\s\up13(→))与b同方向，所以eq\o(AO,\s\up13(→))与eq\o(BO,\s\up13(→))方向关系不确定，所以A，B，C均不对.又eq\o(AO,\s\up13(→))与eq\o(BO,\s\up13(→))均为单位向量，所以|eq\o(AO,\s\up13(→))|＝|eq\o(BO,\s\up13(→))|＝1.【答案】D2.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq\r(2)km到达D地.画图表示向量eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(BC,\s\up13(→))，eq\o(CD,\s\up13(→))，并指出向量eq\o(AD,\s\up13(→))的模和方向.【解】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(BC,\