高中数学北师大版3第一章计数原理 省赛获奖

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为()A．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,6)C．Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2) D．Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,6)【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有Ceq\o\al(2,5)种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有Aeq\o\al(2,6)种．故有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,6)种．【答案】B2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：①任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有()A．22种 B．56种C．210种 D．420种【解析】按第一种方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)种不同的搭配方法，按第二种方法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)种不同的搭配方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝6×21＋4×21＝210种搭配方法，故答案选C.【答案】C3．将A，B，C，D四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有()A．15 B．18C．30 D．36【解析】间接法，所有的不同放法有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)种．A，B两球在同一个盒子中的放法种数为3×Aeq\o\al(2,2)，满足题意的放法种数为Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－3×Aeq\o\al(2,2)＝6×6－3×2＝36－6＝30.【答案】C4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为()A．360 B．520C．600 D．720【解析】当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,3)＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600，故选C.【答案】C5．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A．23个 B．24个C．18个 D．6个【解析】各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝24个．【答案】B二、填空题6．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种.【导学号：62690020】【解析】6位游客选2人去A风景区，有Ceq\o\al(2,6)种，余下4位游客选2人去B风景区，有Ceq\o\al(2,4)种，余下2人去C，D风景区，有Aeq\o\al(2,2)种，所以分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180(种)．【答案】1807．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【解析】分两种情况：第一类：个、十、百位上各有一个偶数，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＝90个；第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝234个．共有90＋234＝324个．【答案】3248．某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种为________种．(结果用数值表示)【解析】在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是Ceq\o\al(2,5)＝eq\f(5×4,2)＝10.因选择方式至少为200种，设素菜为x种，则有Ceq\o\al(2,x)Ceq\o\al(2,5)≥200.即eq\f(xx－1,2)≥20，化简得x(x－1)≥40，解得x≥7.所以至少应准备7种素菜．【答案】7三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上，有Aeq\o\al(3,4)种方法，在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志，有Ceq\o\al(1,3)种方法，还有2名女同志有Aeq\o\al(2,3)种安排方法．共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝432种安排方法．(2)男同志分2组有Ceq\o\al(2,3)种方法，女同志分2组有Ceq\o\al(2,3)种分法，将4组安排到4辆车上有Aeq\o\al(4,4)种方法．共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216种安排方法．10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．【解】(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(种)不同放法．(3)法一：按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)种方法，按2,2,1,1，放入有Ceq\o\al(2,4)种方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(种)不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)不同放法．能力提升]1．(2023·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个 B．120个C．96个 D．72个【解析】分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2Aeq\o\al(3,4)个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)个偶数．故符合条件的偶数共有2Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝120(个)．【答案】B2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有()A．240种 B．180种C．120种 D．60种【解析】取一双同色手套有Ceq\o\al(1,6)种取法，在剩下的5双手套中取2只不同色的手套，有Ceq\o\al(2,5)22种取法，由分步乘法计数原理知，恰好有一双同色手套的取法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)·22＝240种．【答案】A3．(2023·孝感高级期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．【解析】若用三种颜色，有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,4)种染法，若用四种颜色，有5·Aeq\o\al(4,4)种染法，则不同的染色方法有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,4)＋5·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)．【答案】2404．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝Aeq