高中数学人教B版第一章立体几何初步 第1章4

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2023·郑州高一检测)给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．① B．①④C．②③ D．③④【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．【答案】A2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．()A．①②③ B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．【答案】D3．(2023·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面()A．只有一个 B．可作两个C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.【答案】D4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线 B．必有三点不共线C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线【解析】如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．(1)(2)【答案】B5．如图1­2­10，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()图1­2­10A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D【解析】根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.【答案】D二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.【解析】因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.【答案】∈7．如图1­2­11，在正方体ABCD­A1B1C1D1图1­2­11(1)平面AB1∩平面A1C1(2)平面A1C1CA∩平面AC(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB【答案】(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B18．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．【解析】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A【答案】1或2或3三、解答题9．如图1­2­12所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．图1­2­12【证明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．10．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．[能力提升]1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()【导学号：60870033】A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合【解析】选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．【答案】C2．空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不对【解析】若B，C，D共线，则这五个点不一定共面；若B，C，D不共线，则这五个点一定共面，故选B.【答案】B3．(2023·邯郸高一检测)如图1­2­13所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点图1­2­13①C1，M，O三点共线；②C1，M，O，C四点共面；③C1，O，A，M四点共面；④D1，D，O，M四点共面．【解析】在题图中，连接A1C1，AC(图略)，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O∴选项①、②、③均正确，④不正确．【答案】①②③4．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF图1­2­14(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R【解】(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为