高中数学北师大版3本册总复习总复习阶段质量评估2

第二章一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)解析：P(至少有一枚正面)＝1－P(三枚均为反面)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).答案：D2．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，下列说法不正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(x)的最大值为eq\f(1,\r(2π))C．f(x)在x>0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数D．f(x)关于σ＝1对称解析：X～N(0,1)，∴曲线的对称轴为x＝μ＝0.答案：D3．甲、乙、丙三位同学解一道数学题，他们做对的概率都是，则甲、乙、丙都做对的概率为()A． B．×C．＋＋ D．1－解析：记甲、乙、丙三位同学做对一道数学题分别为事件A、事件B、事件C，则事件A、事件B、事件C相互独立，所以同时发生的概率为，选A．答案：A4．将一颗质地均匀的骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为()A．Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3 B．Ceq\o\al(5,6)·eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))5C．Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))0 D．Ceq\o\al(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))5解析：易知一颗骰子连掷6次出现6点这一事件是独立重复试验，利用独立重复试验的概率公式，知恰有3次发生的概率为Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3.应选A．答案：A5．设ξ是随机变量，且D(10ξ)＝40，则D(ξ)＝()A． B．4C．40 D．400解析：∵D(10ξ)＝102Dξ＝40，∴Dξ＝.答案：A6．设10件产品中有4件不合格，从中任意取2件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率是()A． B．C． D．解析：在所取的2件产品中发现有一件不合格(另一件合格与否不管)，这个条件下的基本事件总数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝30，其中，另一件也不合格的基本事件个数是Ceq\o\al(2,4)＝6，∴P＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)＝.答案：A7．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为eq\f(65,81)，则事件A在1次试验中出现的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(5,6) D．eq\f(3,4)解析：设事件A在1次试验中出现的概率为p，则在4次独立重复试验中事件A至少发生1次的概率为1－Ceq\o\al(0,4)p0(1－p)4＝1－(1－p)4，∴1－(1－p)4＝eq\f(65,81)，解得p＝eq\f(1,3).答案：A8．设随机变量X～B(n，p)，且EX＝，DX＝，则()A．n＝8，p＝ B．n＝4，p＝C．n＝5，p＝ D．n＝7，p＝解析：∵X～B(n，p)∴EX＝np＝，DX＝np(1－p)＝∴(1－p)＝，∴p＝，n＝eq\f,＝8.答案：A9.已知三个正态分布密度函数fi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)·eeq\f(－x－μi2,2σ\o\al(2,i))(x∈R，i＝1,2,3)的图像如图所示，则()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3解析：正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(x)的图像一样“瘦高”，f3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.答案：D10．某中学在高二开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高二的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．设X的甲、乙、丙这3个学生中选修数学史的人数，则EX等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,4) D．2解析：由题意知X的所有取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,64)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\f(9,64)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64).∴X的分布列为X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)∴EX＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．甲、乙二人同时打靶，甲命中的概率为，乙命中的概率为，则靶被命中的概率为______________.解析：设“甲命中”为事件A，“乙命中”为事件B，“靶被命中”为事件C，则P(C)＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－(1－(1－＝1－＝.答案：12．已知A、B、C相互独立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，则P(eq\x\to(A)B)＝____________.解析：依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PAB＝\f(1,6),P\x\to(B)C＝\f(1,8)，,PAB\x\to(C)＝\f(1,8)))，解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2).∴P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)13．由正态分布N(1,8)对应的曲线可知，当x＝____________时，函数f(x)有最大值，为____________.解析：由正态密度曲线的性质，可知此正态曲线关于直线x＝μ对称，在x＝μ时曲线位于最高点，所以，当x＝1时，f(x)有最大值，且f(x)max＝eq\f(1,\r(2π)\r(8))e－eq\f(1－12,2×8)＝eq\f(1,4\r(π)).答案：1eq\f(1,4\r(π))14．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝____________.解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯炮寿命(单位：小时)X和Y的分布列分别为：X90010001100PY95010001050P试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？解析：由期望的定义，得EX＝900×＋1000×＋1100×＝1000，EY＝950×＋1000×＋1050×＝1000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得DX＝(900－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1100－1000)2×＝2000，DY＝(950－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1050－1000)2×＝1500.∵DX>DY，∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．16．(本小题满12分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(A|B)．解析：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴X的分布列为X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5)；∴所求概率为P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)；P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,5).17．(本小题满12分)有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20,4)．若这批零件共有5000个．试求：(1)这批零件中尺寸在18mm～22(2)若规定尺寸在24mm～26mm解析：(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在18mm～22(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X在14mm～26而零件尺寸X在16mm～24∴零件尺寸X在24mm～26mm间的百分比大约是eq\f%－%,2)＝因此尺寸在24mm～5000×%≈108(个)．18．(本小题满14分)袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．解析：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(3,4)·C\o\al(1,3)·C\o\al(1,3)·C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55).(2)由题意X所有可能的取值为：1,2,3,4.P(X＝1)＝eq\f(1,C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,3)·C\o\al(1,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(19,220)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,6)·C\o\al(2,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(64,220)＝e