高中数学高考二轮复习 2023届高考数学专题复习学案不等式1

不等式专题----定理和技巧引言：不等式在所有数学领域都有用，本书阐述不等式定理的基本技巧。读者将看到一些经典定理，如舒尔不等式、缪尔海德定理、柯西-苏瓦茨不等式、幂平均不等式、不等式、霍尔德定理。对学生：本书的读者面向高年级的有想进一步提高数学水平的高中生和大学生，本书提到的技巧是不等式难题的窍门，学生们也可以发现自己功课不同难题的方法。目录：1、几何不等式拉维换元三角方法复数的应用2、4个基本技巧三角换元代数换元增函数定理建立新边界3、齐次化和标准化齐次化舒尔不等式和缪尔海德定理标准化柯西-苏瓦茨不等式和霍尔德定理。4、凸函数琴生不等式幂平均不等式最优化不等式辅助线不等式5、例题多变量不等式帕特南研讨会Ch1.几何不等式拉维换元许多不等式因采用合适的换元而简单化，让我们从三角几何的经典不等式开始。最重要的几何不等式是哪个？1746年，察柏尔证明了一个定理：定理：设和分别代表的外接圆半径和内切圆半径，则.当且仅当等边三角形时取等号。证明：设的三边分别为，半周长，面积为，则：还有：且：式就是海伦公式。由得：，而由式得：，那么相当于即：定理：设为三角形的三个边长，则有：等号当且仅当时成立。证明：采用拉维换元，设，，，其中那么，，则：，，式即：而：即：.证毕。CABODEF【练习1】设CABODEF如图，对直角三角形，设为直角边，为斜边，则，且，是三角形外接圆半径。【试证】三角形的面积：，则：，即：将代入得：=1\*GB3①即令：=2\*GB3②采用均值不等式：，代入=2\*GB3②式得：代入=1\*GB3①式得：.证毕.定理：设，则：等号当且仅当时成立。证明：既然不等式的变量是对称的，不适一般性，设，则：，.若，则：构成三角形的三边（两边之和大于第三边）；此时，由定理2可得到结果。现在，假设，则：定理的不等式，在当中部分变量为零时依然成立。定理：设，则：证明：既然，我们发现正数列，，，数列具有，，由定理2得到：两边讨论极限，我们得到结果。很明显，当时等号成立。然而，和，不能保证得到.事实上，对，等式等效于或，或，或，可以理解为当变量为0时的等式结果。可以直接证明等式：故：定理4是舒尔不等式的特例。（注：舒尔不等式：对于非负数和正数，有，仅当=1\*romani>或=2\*romanii>且，或且，或且时等号成立；当为偶数时，不等式对所有实数都成立。）【试题1】设是正数且，试证：.【解析】既然且，主要是，采用换元，，，则不等式为：即：即：.为定理4.拉维换元对像三角形的三边长的不等式很有用，拉维换元后，可以消去三角形的三边长的条件。【试题2】设是一个三角形的三边长，试证：.【解析】采用拉维换元，，，，且.则不等式变为：展开化简为：两边同除以得：采用柯西-苏瓦茨不等式：，即证。【练习2】设是一个三角形的三边长，试证：.【试证】采用拉维换元，令，，则：同理：；.三式相加得：即：.证毕。【练习3】设是一个三角形的三边长，试证：.和：.【试证】先化简，再用拉维换元由于共有12项，分成3份，每份4项.=1\*GB3①采用拉维换元：令，，，则：三式相加并除以2得：=2\*GB3②则=2\*GB3②式乘以就等于=1\*GB3①式。由：得=2\*GB3②式不小于，即=1\*GB3①式不小于.证毕。第二个式子证法与此类似，请读者自证。我们现在开始研究魏琴伯克不等式，也称外森比克不等式。【试题3】设是一个面积为三角形的三边长，试证：这个式称为外森比克不等式。【解析】采用拉维换元，，，，且.不等式变为：其中：，（为半周长）推导如下：由于：所以：则：定理：对任何面积为、边长为的三角形，有不等式：这个不等式称为芬斯勒-哈德威格不等式。证明：采用拉维换元，，，，且.及：代入式得：式可由恒等式：得证。也可采用凸函数性质证明。证法二：由许多方法证明：对于凸函数，用琴生不等式可以证明：当时，故：（注：琴生不等式：对于向下凸出的函数，函数的均值不小于均值的函数。如函数在区间是向下凸出的，由函数的均值不小于均值的函数得：）定理：设为正实数，表示面积为的三角形三边长，则有：这个不等式称为青茨法斯不等式。证明：由定理的芬斯勒-哈德威格不等式足以证明。或：或：本式可由柯西-苏瓦茨不等式直接证明。定理：设代表面积为的三角形的三边长，代表面积为的三角形的三边长，则：这个不等式称为伊诺贝格-佩多不等式。引理1：证明：式等价于：由海伦公式得：或：（注：海伦公式：，即：，即：即：即：）由柯西-苏瓦茨不等式得：先证明：由引理1得：所以，我们只需证明：检验不等式：这里：，，采用恒等式：，或进行放缩：卡里茨发现伊诺贝格-佩多不等式可以由奥采儿不等式放缩得到。定理：设为正实数，且满足和则：这就是奥采儿不等式。证明：由柯西-苏瓦茨不等式得：上面的不等式等价于：当时，无关紧要。重点是当时，关注二次多项式既然，且的系数为正，则至少有一实根，所以非负，故的判别式：伊诺贝格-佩多不等式证法二：采用下列换元：，，，；，，，；