高中数学人教B版第二章平面向量学业分层测评22

学业分层测评(二十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2023·开封质检)已知向量a＝(3,1)，b＝(x，－2)，c＝(0,2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为()\f(4,3) \f(3,4)C.－eq\f(3,4) D.－eq\f(4,3)【解析】b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，∴x＝eq\f(4,3).故选A.【答案】A2.(2023·马鞍山质检)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|＝()\r(3) \r(5)\r(5) \r(2)【解析】∵a∥b，∴4＋2x＝0，∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，∴|a－b|＝3eq\r(5).故选B.【答案】B3.已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,2eq\r(3))，则a与b的夹角是()\f(π,6) \f(π,4)\f(π,3) \f(π,2)【解析】设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1，\r(3)·－2，2\r(3),2×4)＝eq\f(1,2)，解得θ＝eq\f(π,3).故选C.【答案】C4.若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()\f(\r(65),5) \r(65)\f(\r(13),5) \r(13)【解析】a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(2，3·－4，7,\r(－42＋72))＝eq\f(2×－4＋3×7,\r(65))＝eq\f(\r(65),5).【答案】A5.已知正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，则∠DOE的余弦值为()\f(1,2) \f(\r(3),2)\f(3,5) \f(4,5)【解析】以点O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设边长为1，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，于是cos∠DOE＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)),\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12))＝eq\f(4,5).【答案】D二、填空题6.已知Oeq\o(A,\s\up13(→))＝(－2,1)，Oeq\o(B,\s\up13(→))＝(0,2)，且Aeq\o(C,\s\up13(→))∥Oeq\o(B,\s\up13(→))，Beq\o(C,\s\up13(→))⊥Aeq\o(B,\s\up13(→))，则点C的坐标是________.【解析】设C(x，y)，则Aeq\o(C,\s\up13(→))＝(x＋2，y－1)，Beq\o(C,\s\up13(→))＝(x，y－2)，Aeq\o(B,\s\up13(→))＝(2,1).由Aeq\o(C,\s\up13(→))∥Oeq\o(B,\s\up13(→))，Beq\o(C,\s\up13(→))⊥Aeq\o(B,\s\up13(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2＝0，,2x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6，))∴点C的坐标为(－2,6).【答案】(－2,6)7.(2023·德州高一检测)若向量a＝(－2,2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为________.【解析】若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝－2λ，,y＝2λ，,λ<0，))解得y＝－1且λ＝－eq\f(1,2)，所以b≠λa(λ<0)时y≠－1；①若a与b夹角θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，则只要a·b<0且b≠λa(λ<0).当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1.②由①②得y<－1或－1<y<1.【答案】(－∞，－1)∪(－1,1)三、解答题8.已知eq\o(AB,\s\up13(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(4，k)，eq\o(CD,\s\up13(→))＝(2,1).(1)若A，C，D三点共线，求k的值；(2)在(1)的条件下，求向量eq\o(BC,\s\up13(→))与eq\o(CD,\s\up13(→))的夹角的余弦值.【导学号：72023068】【解】(1)因为eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝(10，k＋1)，由题意知A，C，D三点共线，所以eq\o(AC,\s\up13(→))∥eq\o(CD,\s\up13(→))，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.(2)因为eq\o(CD,\s\up13(→))＝(2,1)，设向量eq\o(BC,\s\up13(→))与eq\o(CD,\s\up13(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(BC,\s\up13(→))·\o(CD,\s\up13(→)),|\o(BC,\s\up13(→))||\o(CD,\s\up13(→))|)＝eq\f(12,4\r(2)×\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).9.已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，(1)ka－b与a＋b共线；(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.【解】∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1).(1)∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.即当k＝－1时，ka－b与a＋b共线.(2)∵|ka－b|＝eq\r(k2＋k＋22)，|a＋b|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2)，(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos120°＝eq\f(ka－b·a＋b,|ka－b||a＋b|)，即－eq\f(1,2)＝eq\f(－2,\r(2)·\r(k2＋k＋22))，化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±eq\r(3).即当k＝－1±eq\r(3)时，ka－b与a＋b的夹角为120°.[能力提升]1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))【解析】设c＝(x，y)，又因为a＝(1,2)，b＝(2，－3)，所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，又因为(c＋a)∥b，所以有(x＋1)·(－3)－2·(y＋2)＝0，即－3x－2y－7＝0，①又a＋b＝(3，－1)，由c⊥(a＋b)得：3x－y＝0，②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(7,9)，,y＝－\f(7,3)，))因此有c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3))).【答案】D2.(2023·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：(1)eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))的坐标；(2)|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))|的值；(3)cos∠BAC的值.【解】(1)eq\o(AB,\s\up13(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，eq\o(AC,\s\up13(→))＝(2,5)－(1,0)＝(1,5).(2)因为eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))|＝eq\r(－22＋－42)＝2eq\r(5).(3)因为eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))＝(－1,1)